【学习笔记】多项式 4：生成函数

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收起

生成函数 GF#

定义#

定义一个数列 $\{a_n\}$ 的生成函数（或母函数）$F(x)$ 为：

$$F(x)=\sum_{i\ge 0}a_ix^i$$

这是个无限项的形式幂级数，然而我们实际上只关心有限项。

$x$ 并没有实际意义，只是占位符。这种情况在最初的多项式卷积中就已经见到过了。

将一般的卷积写成生成函数的好处在于方便进一步推导。

简单数列的生成函数#

• $\{1,1,1,1,1,\cdots\}$

$$F(x)=\sum_{i\ge 0} x^i=xF(x)+1=\dfrac{1}{1-x}$$

• $\{0,1,2,4,8,\cdots\}$

$$F(x)=\sum_{i\ge 0} 2^ix^i=2xF(x)+1=\dfrac{1}{1-2x}$$

• $\{1,0,1,0,1,\cdots\}$

$$F(x)=\sum_{i\ge 0} x^{2i}=\dfrac{1}{1-x^2}$$

• $\{0,1,0,1,0,\cdots\}$

$$F(x)=\sum_{i\ge 0} x^{2i+1}=\dfrac{x}{1-x^2}$$

斐波那契数列生成函数#

对于 $n\ge 2$，有：

$$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$$

于是可以写成：

$$F(x)=xF(x)+x^2F(x)$$

然而边界值不能确定，只需要补足 $[x^1]F(x)=1$ 即可，于是：

$$F(x)=xF(x)+x^2F(x)+x$$

整理一下变成：

$$F(x)=\dfrac{x}{1-x-x^2}$$

设 $\dfrac{x}{1-x-x^2}=\dfrac{A}{1-ax}+\dfrac{B}{1-bx}$

根据上面的举例，可以知道左右两个分式都能写成等比的生成函数，于是：

$$[x^n]F(x)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]$$

这个就是斐波那契数列的通项公式了。

普通生成函数 OGF#

用于无标号计数。

形式#

$$F(x)=\sum_{i\ge 0} a_ix^i$$

当 $a_i=k^i$ 时，封闭形式：

$$F(x)=\dfrac{1}{1-kx}$$

一个简单的例子#

有红黄蓝三种球各 $m$ 个，从中共选出 $n$ 个，求方案数。

构造生成函数 $G(x)=1+x+x^2+\cdots+x^m$，三种球的选择实际上就是乘积贡献到指数和的位置，也就是卷积，于是可以写成：

$$f_{n}=\sum_{i,j,k}g_i\times g_j\times g_k[i+j+k=n]$$

生成函数的形式就是：

$$F=G*G*G=G^3$$

范德蒙德卷积#

$$\dbinom{n+m}{k}=\sum_{i=0}^k\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{k-i}$$

左侧是 $[x^k](1+x)^{n+m}$，右侧是 $[x^i](1+x)^n\times [x^{k-i}](1+x)^m$

这样一看好像很显然了。

一道题#

CodeForces-438E The Child and Binary Tree *3100

设 $g_i$ 为该权值是否在集合中，$f_i$ 为权值和为 $i$ 的方案数，写出转移式子：

$$f_n=\sum_{i=0}^{n} g_i\sum_{j=0}^{n-i} f_{j}\times f_{n-i-j}$$

就是三个函数卷一下，但是重要的地方在于初始值 $f_0=1$，于是生成函数应该写成：

$$F=F^2G+1$$

解一下：

$$F=\dfrac{1\pm\sqrt{1-4G}}{2G}$$

分子有理化：

$$F=\dfrac{2}{1\mp \sqrt{1-4G}}$$

$G=0$ 时加号有意义，因此是：

$$F=\dfrac{2}{1+\sqrt{1-4G}}$$

卡特兰数生成函数#

卡特兰数的一个递推式：

$$C_n=\sum_{i=0}^{n-1}C_i\times C_{n-i-1}$$

也就是：

$$C=xC^2+1$$

解完和上一题差不多，是：

$$C=\dfrac{2}{1+\sqrt{1-4x}}$$

据说再解就出通项了。

指数生成函数 EGF#

用于有标号计数。

形式#

$$F(x)=\sum_{i\ge 0}\dfrac{a_ix^i}{i!}$$

$a_i=1$ 的特殊情况：

$$F(x)=\sum_{i\ge 0}\dfrac{x^i}{i!}=e^x$$

因此 $a_i=k^i$ 时：

$$F(x)=e^{kx}$$

一个简单的例子#

还是红黄蓝三种球，只不过这次是要出一个排列。

$$f_n=\sum_{i,j,k} \dbinom{n}{i,j,k}g_i\times g_j\times g_k[i+j+k=n]$$

拆开组合数很神奇的是：

$$\dfrac{f_n}{n!}=\sum_{i,j,k} \dfrac{g_i}{i!}\times \dfrac{g_j}{j!}\times \dfrac{g_k}{k!}[i+j+k=n]$$

长得很像，同样也是：

$$F=G^3$$

一道题#

Luogu-P4841 集训队作业 2013 城市规划

常规容斥做法不多赘述。

设 $F(x)$ 为无向连通图个数的生成函数，那么 $F(x)$ 卷多次得到：

$$G(x)=\sum_{i\ge 0}\dfrac{F^i(x)}{i!}$$

除以一个 $i!$ 是因为连通块没有顺序区别，而 $F(x)$ 卷积是有顺序区别的。

这个东西和 $e^x$ 的泰勒展开很像，也就是：

$$G(x)=\exp F(x)$$

而 $G(x)=\sum_{i\ge 0} 2^{\tbinom{i}{2}}x^i$ 是已知的，$\ln G(x)=F(x)$ 回来即可。

多项式 $\exp$ 与多项式 $\ln$ 的组合意义#

通过上面的题实际上已经得出了，一个整体方案数生成函数的 $\exp$ 就是任意一个独立整体方案数生成函数（例如上面的连通图与无限制），而 $\ln$ 的组合意义就是由 $\exp$ 反向得到的。

参考资料#

• OI Wiki

• 课件 - APJifengc

• 课件 - kai586123