【学习笔记】Miller-Rabin 算法

合集 - 学习笔记(42)

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收起

费马小定理#

当 $p$ 为质数时，若 $\gcd(a,p)=1$，则 $a^{p-1}\equiv 1\pmod p$。

但逆命题是错的，例如 $p=561$ 这类卡迈克尔数，满足任何 $\gcd(a,p)=1$ 都有 $a^{p-1}\equiv 1\pmod p$。所以用费马小定理判断质数是不行的。

二次探测定理#

当 $p$ 为奇质数时，$x^2\equiv 1\pmod p$ 的解只有 $x\equiv\pm 1\pmod p$。

证明考虑移项得到 $(x+1)(x-1)\equiv 0\pmod p$，即 $p\mid (x+1)(x-1)$，由于 $p$ 为质数，那么不会出现 $x+1$ 和 $x-1$ 共同贡献出 $p$ 这个因子。

Miller-Rabin 算法#

将上面两个定理结合起来，取一质数为底数 $a$，特判 $a^{p-1}\not\equiv 1\pmod p$ 的情况，之后不断执行如下操作：

• 若 $p-1$ 为奇数，返回值为真。

• 若 $p-1$ 为偶数

  • 若 $a^{\frac{p-1}{2}}\not\equiv\pm 1\pmod m$，返回值为假。

  • 若 $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\pmod m$，返回值为真。

  • 若 $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\pmod m$，$p\leftarrow \frac{p-1}{2}+1$，继续执行。

时间复杂度为 $O(k\log^2 p)$，其中 $k$ 为选取的底数个数。

选取前 $12$ 个素数，可以测出 $[1,2^{64})$ 内所有素数。

参考资料#

• OI Wiki

• 初等数论学习笔记 II：分解质因数 - Alex_Wei