【学习笔记】长链剖分

合集 - 学习笔记(42)

1.【学习笔记】Kruskal 重构树2022-11-252.【学习笔记】网络流2022-12-153.【学习笔记】高级数据结构2022-12-214.【学习笔记】线性基2022-12-275.【学习笔记】Link Cut Tree2022-12-286.【学习笔记】字符串后缀算法2022-12-307.【学习笔记】字符串回文算法2023-01-128.【学习笔记】组合数学2023-01-279.【学习笔记】多项式 1：基础操作2023-01-3010.【学习笔记】多项式 2：集合幂级数2023-02-0311.【学习笔记】多项式 3：多项式运算2023-02-1112.【学习笔记】Prufer 序列2023-02-1513.【学习笔记】多项式 4：生成函数2023-02-1514.【学习笔记】DP 套 DP2023-02-1915.【学习笔记】图的连通性2023-02-2216.【学习笔记】差分约束2023-03-20

17.【学习笔记】长链剖分2023-04-22

18.【学习笔记】2-SAT2023-04-2319.【学习笔记】根号算法2023-06-0620.【学习笔记】Primal-Dual 原始对偶算法2023-06-1521.【学习笔记】Bostan-Mori 算法2023-07-0222.【学习笔记】狄利克雷卷积与高级筛法2023-07-0323.【学习笔记】DP 优化 1：基础优化2023-07-0324.【学习笔记】DP 优化 2：动态 DP2023-07-0425.【学习笔记】李超线段树2023-07-0926.【学习笔记】优化建图2023-07-1127.【学习笔记】Segment Tree Beats2023-07-1128.【学习笔记】插头 DP2023-07-1329.【学习笔记】任意模数多项式乘法2023-07-1630.【学习笔记】SG 函数与 SG 定理2023-08-0531.【学习笔记】类欧几里得算法2023-08-0632.【学习笔记】狄利克雷前/后缀和/差分2023-08-1133.【学习笔记】DSU on Tree2023-08-2234.【学习笔记】DP 优化 3：闵可夫斯基和优化 DP2023-09-0135.【学习笔记】笛卡尔树2023-09-0536.【学习笔记】Miller-Rabin 算法2023-10-2437.【学习笔记】DP 优化 4：决策单调性2023-11-1538.【学习笔记】DP 优化 5：wqs 二分优化 DP2023-12-0439.【学习笔记】边分治2023-12-2840.【学习笔记】KMP 相关算法2024-01-1041.【学习笔记】概率生成函数2024-01-1142.【学习笔记】离散对数和剩余2024-01-25

收起

概述#

在常规树链剖分中把重儿子设成 $siz$ 最大的儿子，这样从根跳重链时子树大小至少减半，因此只需要 $O(\log n)$ 次即可到达任何节点。

考虑把关键字由 $siz$ 改成子树内最大的深度 $dep$，这样的剖分方法称为长链剖分。

void dfs1(int u,int fa,int d){
    dep[u]=d,mxdep[u]=dep[u];
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if(v==fa) continue;
        dfs1(v,u,d+1);
        if(mxdep[v]>mxdep[u]) mxdep[u]=mxdep[v],son[u]=v;
    }
}

长链剖分具有一些性质：

• 从一个节点跳向链顶的父亲，所在的链长度一定增加，证明显然。

• 从一个节点跳链顶，$O(\sqrt{n})$ 次可以到达树根，结合上一性质可证，最坏情况是 $1+2+\cdots+\sqrt{n}$。但这个性质不常用。

优化 DP#

大致思想#

当 DP 的状态形如 $f_{u,d}$，只与子树 $u$ 和子树内到 $u$ 的距离 $d$ 有关时，可以考虑长链剖分优化至 $O(n)$。

具体方法类似树上启发式合并，每次继承重儿子信息，轻儿子暴力合并。

复杂度证明：短链向长链合并时，长链长度一定不会增加，因此相当于把短链上的信息直接删去了。而一条链只会合并一次，每个节点只出现在一条链上，因此合并复杂度是 $O(n)$ 的。

具体实现#

难点在于如何继承重儿子的信息。

在绝大多数题目中，是一个 $f_{v,d}\to f_{u,d+1}$ 的过程，也就是由父亲到儿子，距离增加 $1$。可以使用指针实现，先 DFS 预处理，对于根和每个轻儿子开子树内最大距离大小的空间，对于重儿子将指针设为父亲的指针位置加 $1$。

void dfs2(int u,int f){
    if(u==1){
        dp[u]=p,p+=mxdep[u]-dep[u]+1;
    }
    if(!son[u]) return;
    dp[son[u]]=dp[u]+1;
    dfs2(son[u],u);
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if(v==f||v==son[u]) continue;
        dp[v]=p,p+=mxdep[v]-dep[v]+1; 
        dfs2(v,u);
    }
}

在一般情况下，每个数组大小就是 $n$。

也可以用 vector 实现，但是每次加入距离更小的，实际上是倒着存储，需要特判一些边界等等，且常数较大，不推荐。

在正式 DP 时，要利用好只能枚举短链上节点到 $u$ 的距离。对每棵子树单独计数的题目，直接继承即可，且对于最值或求和之类的题目，会影响到的只有短链的范畴；对于多棵子树合并计数的题目，注意到一定有短链存在，因此还是以枚举短链上距离为依托。

例题#

CodeForces-1009F Dominant Indices *2300#

朴素的统计子树内距离对应节点个数。

重儿子可以直接继承，轻儿子暴力合并即可。

Luogu-P5904 POI 2014 HOT-Hotels 加强版#

这类的三元组有两种：$\mathrm{LCA}$ 是或不是重心的。

先考虑朴素 DP 怎么做，我们希望问题在子树内解决，所以要在 $\mathrm{LCA}$ 处统计答案。

对于第一种情况，设 $f_{u,d}$ 为 $u$ 子树内距离为 $d$ 的节点个数，$g_{u,d}$ 为 $u$ 子树内到 $u$ 距离均为 $d$ 且 $\mathrm{LCA}$ 为 $u$ 的点对数。

枚举每棵子树以及距离，统计答案的过程：

$$g_{u,d+1}\times f_{v,d}\to \mathrm{ans}$$

$$f_{u,d+1}\times f_{v,d}\to g_{u,d+1}$$

$$f_{v,d}\to f_{u,d+1}$$

对于第二种情况，设目标三元组 $(u,v,w)$，有三部分组成：$\mathrm{LCA}(u,v)$ 到 $u,v$ 距离相等，均为 $d_1$，$\mathrm{LCA}(u,v,w)$ 到 $w$ 的距离 $d_2$ 与到 $\mathrm{LCA}(u,v)$ 的距离 $d_3$ 无边集交且满足 $d_1=d_2+d_3$。

因为在 $\mathrm{LCA}(u,v,w)$ 处统计答案，发现 $d_3=d_1-d_2$，因此 $d_1-d_2$ 相等的位置本质没有区别，设 $h_{u,d}$ 为 $u$ 子树内满足这样情况且 $d_1-d_2=d$ 的点对数，那么转移也类似上面了。

考虑怎么优化。

$g$ 是只对一棵子树有效的，不需要继承，$f$ 比较朴素的继承即可，而 $h$ 比较不同，考虑到 $v$ 到 $u$ 后，$d_1$ 不变而 $d_2$ 增加 $1$，因此继承是形如 $h_{v,d}\to h_{u,d-1}$，与正常的继承不同。这就需要我们预处理指针时，把重儿子的指针设为父亲的指针减 $1$，从而空间要开 $2$ 倍。

统计答案也需要精细处理，一个简单的想法是先计算轻子树之间的答案，这部分照搬暴力即可，同时要用一个临时数组记录一下当前统计到的 $f,g,h$。计算完之后，可以和重儿子继承来的 $f,h$ 再合并得到另一部分的答案。

Luogu-P3899 湖南集训 更为厉害#

容易发现 $a,b,c$ 在一条链上，在 $a$ 处计算答案，讨论 $b$ 的位置。

如果 $b$ 在 $a$ 的上方，那么 $b,c$ 相当于独立，方案数是 $\max(dep_a,k)\times (siz_a-1)$。

如果 $b$ 在 $a$ 的下方，那么 $b$ 的个数实际上与 $c$ 到 $a$ 的距离有关，具体是 $\sum_{c\in \mathrm{son}(a)}\min(dep_c-dep_a-1,k)$，即 $(a,c)$ 路径上点的个数和可以取的点的个数的较小值。

第一种情况可以随便计算，第二种情况是要求一个加权和，因此我们考虑如何对于每个子树内距离 $d$ 求 $\sum d-1$。朴素设 $f_{u,d}$ 为个数，$g_{u,d}$ 为加权和，继承时 $f$ 正常，由于 $d$ 的增加，$g_{u,d+1}$ 实际上是由 $df_{v,d}=(d-1)f_{v,d}+f_{v,d}=g_{v,d}+f_{v,d}$ 贡献来的，这样不能直接继承。

尝试把 $d$ 拆成可以直接继承的类型，那就改成 $dep_v-dep_u$，这样对于不同的 $u$，加权和变成了 $dep_v\times f_{u,d}-dep_u\times f_{u,d}$，后者系数对于 $u$ 而言是常量，前者在 $v$ 到 $u$ 的过程中系数不发生改变，可以直接继承。

容易发现可以后缀和优化。

其实第二种情况可以选择对每个 $b$ 计数而不是对每个 $c$ 计数，这样就是求深度范围内的所有节点子树大小，主席树二维数点。

总结#

长链剖分优化 DP 大致有以下技巧：

• 答案由两棵子树贡献得到，先暴力计算轻子树之间的，再统一算所有轻子树和重子树之间的。

• 在需要求和优化时，采用后缀和而不是前缀和，因为前者不需要修改长链上深度较大节点的值，保证了复杂度。

• 修改状态定义为便于继承的结果，多数采用了 $d=dep_v-dep_u$ 的方法。

参考资料#

• OI Wiki

• 简单树论 - Alex_Wei