【学习笔记】Link Cut Tree
应用对象
在不改变树形态的前提下，树上求和求最值问题可以用树链剖分，树上统计问题可以用树分治。
而当出现连边断边的操作时，数的形态会发生改变，上述方法不再适用。而 LCT 就是解决动态树问题的工具。
一些定义
虚实链剖分：类比轻重链剖分，每个节点向一个儿子连出一条实边，其余儿子连出一条虚边，实边构成一条实链。用一棵 Splay 对应维护每一个实链，Splay 内部关键字为深度，也即其中序遍历是一条从上到下的实链。
现在得到了 Splay 森林，对于连通的树，我们将一个虚边的儿子（显然这个儿子一定是实链的链顶）在 Splay 的父亲定义为其在树上的父亲，而这个父亲 不记录这些虚儿子。
大体感知：虚实链剖分，实链用 Splay 维护，每个链顶记录一下其父亲。
函数实现
\(\mathrm{rotate}(x)\) 以及 \(\mathrm{splay}(x)\)
大体与普通平衡树相同，有两点注意在后面提到。
\(\mathrm{access}(x)\)
最关键的函数，目的是让当前树的根与 \(x\) 在同一个 Splay 中，也就是将这条根链调整为实链。
这里需要进行三步操作，设当前操作点为 \(x\)：
-
将 \(x\) 旋转至所在 Splay 的根，即作为链顶。
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将当前操作点的右儿子修改为上一个操作点。（由于虚边只记录父亲，因此不需要对虚边对应儿子进行修改。）
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记录当前操作点，下一个操作点为这个操作点的父亲。（Splay 旋转至根代表着旋转到了链顶，也就是说，无论根是谁，根的父亲始终是这条实链链顶的父亲。）
这里要注意，我们保证进行这样一系列的操作后，这条根链是完整的实链，也就是 \(x\) 如果有原树上的儿子也不会作为实儿子。
\(\mathrm{makeroot}(x)\)
将 \(x\) 作为当前树的根，首先进行 \(\mathrm{access}(x)\) 操作，使得 \(x\) 与根在同一实链当中，接下来将 \(x\) 旋转至根，此时由于 \(x\) 在平衡树中为中序遍历最后一个元素，因此要让 \(x\) 作为根则需要将中序遍历提到最前，直接平衡树全局翻转，打一个标记。
\(\mathrm{findroot}(x)\)
找到 \(x\) 所在原树的根，依旧是 \(\mathrm{access}(x)\) 之后找到中序遍历最靠前的节点即可。
\(\mathrm{split}(x,y)\)
将 \((x,y)\) 这条链单独提出，实际上就是把 \(x\) 作为根之后再 \(\mathrm{access}(y)\)。
\(\mathrm{link}(x,y)\)
连边，将 \(x\) 作为根，之后虚边连到 \(y\) 上即可。
\(\mathrm{cut}(x,y)\)
删边，注意这里删边的条件不止是连通，需要判断是不是直接相连，方法是判断中序遍历是不是相邻。
注意点
-
在 Splay 中，旋转的目标是当前平衡树的根，也就是当前实链的链顶，这意味着根实际上是有父亲的，且这个父亲不会记录虚儿子。而正常不加特判时，就会修改儿子信息，这是错误的。
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翻转操作需要在改变形态前及时解决，具体是每次 \(\mathrm{splay}(x)\) 前，先将根到 \(x\) 上每个节点的标记下传。
模板
点击查看代码
int n,m;
struct LinkCutTree{
int fa[maxn],ch[maxn][2];
int val[maxn],xorsum[maxn];
bool rev[maxn];
inline void input(){
for(int i=1;i<=n;++i) val[i]=read(),xorsum[i]=val[i];
}
inline void push_up(int x){
xorsum[x]=xorsum[ch[x][0]]^val[x]^xorsum[ch[x][1]];
}
inline void push_rev(int x){
swap(ch[x][0],ch[x][1]);
rev[x]^=1;
}
inline void push_down(int x){
if(rev[x]){
if(ch[x][0]) push_rev(ch[x][0]);
if(ch[x][1]) push_rev(ch[x][1]);
rev[x]=false;
}
}
inline bool chkson(int x){
return x==ch[fa[x]][1];
}
inline bool chkroot(int x){
return x!=ch[fa[x]][0]&&x!=ch[fa[x]][1];
}
inline void rotate(int x){
int y=fa[x],z=fa[y];
bool chk=chkson(x);
if(!chkroot(y)) ch[z][chkson(y)]=x;
fa[x]=z;
ch[y][chk]=ch[x][chk^1],fa[ch[x][chk^1]]=y;
ch[x][chk^1]=y,fa[y]=x;
push_up(y),push_up(x);
}
int st[maxn],top;
inline void splay(int x){
st[top=1]=x;
for(int u=x;!chkroot(u);u=fa[u]) st[++top]=fa[u];
for(int i=top;i>=1;--i) push_down(st[i]);
while(!chkroot(x)){
int y=fa[x];
if(!chkroot(y)) rotate(chkson(x)==chkson(y)?y:x);
rotate(x);
}
}
inline void access(int x){
for(int last=0;x;last=x,x=fa[x]){
splay(x);
ch[x][1]=last;
push_up(x);
}
}
inline void makeroot(int x){
access(x);
splay(x);
push_rev(x);
}
inline int findroot(int x){
access(x);
splay(x);
while(ch[x][0]) x=ch[x][0];
splay(x);
return x;
}
inline void split(int x,int y){
makeroot(x);
access(y);
splay(y);
}
inline void link(int x,int y){
if(findroot(x)==findroot(y)) return;
makeroot(x);
fa[x]=y;
}
inline void cut(int x,int y){
if(findroot(x)!=findroot(y)) return;
split(x,y);
if(ch[y][0]==x&&!ch[x][1]) ch[y][0]=0,fa[x]=0;
}
inline void update(int x,int k){
access(x);
splay(x);
val[x]=k;
push_up(x);
}
inline void query(int x,int y){
split(x,y);
printf("%d\n",xorsum[y]);
}
}LCT;
小技巧
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由于维护动态树，很多时候不能使用边权退化为子节点点权的方式处理，这时将 \((u,v,w)\) 建成 \((u,id)\) 与 \((id,v)\) 其中 \(id\) 点权为边权。
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LCT 可以维护动态加边图的最小生成树（同时也是最小瓶颈生成树），类似于判断静态一条边权值在什么范围内可以作为最小生成树边，只需要维护 Splay 内的最大边权以及最大边权来源，同样是要开节点表示边。
一些题
BZOJ-3514 GERALD07 加强版
求 \([l,r]\) 中边组成的子图连通块个数。
按照顺序加边，假设 \(j\) 加入时已经连通，且最早加入的边为 \(i\)，那么如果 \(l>i,r<j\)，就一定是不连通的。
拓展一下，如果又有 \(k\) 顶替了 \(j\)，相当于形成了一个 \(i\to j\to k\) 的链，那么 \([l,r]\) 中有元素在链中就会连通，反之则不连通。
那么实际上就是求区间种类数，使用主席树，维护最新的生成树就是要用 LCT 了。
