【学习笔记】Link Cut Tree
应用对象#
在不改变树形态的前提下,树上求和求最值问题可以用树链剖分,树上统计问题可以用树分治。
而当出现连边断边的操作时,数的形态会发生改变,上述方法不再适用。而 LCT 就是解决动态树问题的工具。
一些定义#
虚实链剖分:类比轻重链剖分,每个节点向一个儿子连出一条实边,其余儿子连出一条虚边,实边构成一条实链。用一棵 Splay 对应维护每一个实链,Splay 内部关键字为深度,也即其中序遍历是一条从上到下的实链。
现在得到了 Splay 森林,对于连通的树,我们将一个虚边的儿子(显然这个儿子一定是实链的链顶)在 Splay 的父亲定义为其在树上的父亲,而这个父亲 不记录这些虚儿子。
大体感知:虚实链剖分,实链用 Splay 维护,每个链顶记录一下其父亲。
函数实现#
以及 #
大体与普通平衡树相同,有两点注意在后面提到。
#
最关键的函数,目的是让当前树的根与 在同一个 Splay 中,也就是将这条根链调整为实链。
这里需要进行三步操作,设当前操作点为 :
-
将 旋转至所在 Splay 的根,即作为链顶。
-
将当前操作点的右儿子修改为上一个操作点。(由于虚边只记录父亲,因此不需要对虚边对应儿子进行修改。)
-
记录当前操作点,下一个操作点为这个操作点的父亲。(Splay 旋转至根代表着旋转到了链顶,也就是说,无论根是谁,根的父亲始终是这条实链链顶的父亲。)
这里要注意,我们保证进行这样一系列的操作后,这条根链是完整的实链,也就是 如果有原树上的儿子也不会作为实儿子。
#
将 作为当前树的根,首先进行 操作,使得 与根在同一实链当中,接下来将 旋转至根,此时由于 在平衡树中为中序遍历最后一个元素,因此要让 作为根则需要将中序遍历提到最前,直接平衡树全局翻转,打一个标记。
#
找到 所在原树的根,依旧是 之后找到中序遍历最靠前的节点即可。
#
将 这条链单独提出,实际上就是把 作为根之后再 。
#
连边,将 作为根,之后虚边连到 上即可。
#
删边,注意这里删边的条件不止是连通,需要判断是不是直接相连,方法是判断中序遍历是不是相邻。
注意点#
-
在 Splay 中,旋转的目标是当前平衡树的根,也就是当前实链的链顶,这意味着根实际上是有父亲的,且这个父亲不会记录虚儿子。而正常不加特判时,就会修改儿子信息,这是错误的。
-
翻转操作需要在改变形态前及时解决,具体是每次 前,先将根到 上每个节点的标记下传。
模板#
点击查看代码
int n,m;
struct LinkCutTree{
int fa[maxn],ch[maxn][2];
int val[maxn],xorsum[maxn];
bool rev[maxn];
inline void input(){
for(int i=1;i<=n;++i) val[i]=read(),xorsum[i]=val[i];
}
inline void push_up(int x){
xorsum[x]=xorsum[ch[x][0]]^val[x]^xorsum[ch[x][1]];
}
inline void push_rev(int x){
swap(ch[x][0],ch[x][1]);
rev[x]^=1;
}
inline void push_down(int x){
if(rev[x]){
if(ch[x][0]) push_rev(ch[x][0]);
if(ch[x][1]) push_rev(ch[x][1]);
rev[x]=false;
}
}
inline bool chkson(int x){
return x==ch[fa[x]][1];
}
inline bool chkroot(int x){
return x!=ch[fa[x]][0]&&x!=ch[fa[x]][1];
}
inline void rotate(int x){
int y=fa[x],z=fa[y];
bool chk=chkson(x);
if(!chkroot(y)) ch[z][chkson(y)]=x;
fa[x]=z;
ch[y][chk]=ch[x][chk^1],fa[ch[x][chk^1]]=y;
ch[x][chk^1]=y,fa[y]=x;
push_up(y),push_up(x);
}
int st[maxn],top;
inline void splay(int x){
st[top=1]=x;
for(int u=x;!chkroot(u);u=fa[u]) st[++top]=fa[u];
for(int i=top;i>=1;--i) push_down(st[i]);
while(!chkroot(x)){
int y=fa[x];
if(!chkroot(y)) rotate(chkson(x)==chkson(y)?y:x);
rotate(x);
}
}
inline void access(int x){
for(int last=0;x;last=x,x=fa[x]){
splay(x);
ch[x][1]=last;
push_up(x);
}
}
inline void makeroot(int x){
access(x);
splay(x);
push_rev(x);
}
inline int findroot(int x){
access(x);
splay(x);
while(ch[x][0]) x=ch[x][0];
splay(x);
return x;
}
inline void split(int x,int y){
makeroot(x);
access(y);
splay(y);
}
inline void link(int x,int y){
if(findroot(x)==findroot(y)) return;
makeroot(x);
fa[x]=y;
}
inline void cut(int x,int y){
if(findroot(x)!=findroot(y)) return;
split(x,y);
if(ch[y][0]==x&&!ch[x][1]) ch[y][0]=0,fa[x]=0;
}
inline void update(int x,int k){
access(x);
splay(x);
val[x]=k;
push_up(x);
}
inline void query(int x,int y){
split(x,y);
printf("%d\n",xorsum[y]);
}
}LCT;
小技巧#
-
由于维护动态树,很多时候不能使用边权退化为子节点点权的方式处理,这时将 建成 与 其中 点权为边权。
-
LCT 可以维护动态加边图的最小生成树(同时也是最小瓶颈生成树),类似于判断静态一条边权值在什么范围内可以作为最小生成树边,只需要维护 Splay 内的最大边权以及最大边权来源,同样是要开节点表示边。
一些题#
BZOJ-3514 GERALD07 加强版#
求 中边组成的子图连通块个数。
按照顺序加边,假设 加入时已经连通,且最早加入的边为 ,那么如果 ,就一定是不连通的。
拓展一下,如果又有 顶替了 ,相当于形成了一个 的链,那么 中有元素在链中就会连通,反之则不连通。
那么实际上就是求区间种类数,使用主席树,维护最新的生成树就是要用 LCT 了。
参考资料#
作者:SoyTony
出处:https://www.cnblogs.com/SoyTony/p/Learning_Notes_about_Link_Cut_Tree.html
版权:本作品采用「署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际」许可协议进行许可。
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