【学习笔记】线性基

合集 - 学习笔记(42)

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收起

指异或线性基，用一组线性无关的基底表示一些数异或的信息。

性质#

• 任意一个原序列中的数度都能被线性基的几个基底异或得到。

• 线性基任意一个子集异或和不为 $0$。

• 一个序列对应多个线性基，但线性基的规模都一定，且是满足性质 $1$ 中所有基底组成集合最小的一个。

证明将在插入操作中展开。

具体操作#

插入#

对于数 $x$，从高到低位枚举，如果这一位是 $1$，且目前这一位的基底还没有，就直接更新基底并退出；反之将 $x$ 异或这一位的基底。

inline void insert(ll x){
    for(int i=62;i>=0;--i){
        if(x&(1ll<<i)){
            if(!bs[i]){
                bs[i]=x,++cnt;
                break;
            }
            else x^=bs[i];
        }
    }
    chk0=1;
}

对于性质 $1$，这样插入如果最终也没有更新过一个基底，那么一定是被异或为 $0$，也就是被表示出来了，反之相当于更新的基底异或上之前的位置，也得到了这个数。

对于性质 $2$，如果出现异或和为 $0$，那么最后一个数不会被插入。

对于性质 $3$，设想仅改变两个数 $x,y$ 的插入顺序，而构成的线性基不同，那么一定会在一位产生分歧，即这一位被先插入的数 $x$ 占据，讨论 $y$ 最后是否被插入，如果没有被插入，则没有任何影响；如果被插入，那么原来插入在这个位置的数将会被顶替，就变成了又一个这样的问题，只不过是位置变低，依此归纳，最终最后一位被占据的将无法插入，也就是线性基规模是不变的。

查询是否可以被表示#

按照插入方法，判断最终是否为 $0$ 即可。

inline bool query(ll x){
    for(int i=62;i>=0;--i){
        if(x&(1ll<<i)) x^=bs[i];
    }
    return !x;
}

查询异或最大值#

接下来我们的操作都等价到线性基上，线性基的每一个基底最高位都不同，这是很友好的性质。

从高到低枚举，这样多异或一个数不会改变更高位的值，于是贪心异或，如果可以变更大就异或。

inline ll query_max(){
    ll res=0;
    for(int i=62;i>=0;--i){
        if((res^bs[i])>res) res^=bs[i];
    }
    return res;
}

查询异或最小值#

如果可以出现 $0$，答案必然是 $0$，反之答案应该是最小的基底，因为只要有更大的基底参与，那么一定会在更高位上有 $1$，而大于这个数。

inline ll query_min(){
    if(chk0) return 0;
    for(int i=0;i<=62;++i){
        if(bs[i]) return bs[i];
    }
}

查询 $k$ 小值#

相对较难。思考这样一个问题：如果基底都是 $2^k$，的确满足了完全表示的性质，并且这种中规中矩的基底，可以直接根据 $k$ 的二进制来得到，也就是说，不会因为多选取一个元素而导致结果更小，或者是说，基底互不干扰。

但这样不满足线性基最小规模，例如 $(1011)_2,(0001)_2$，两个基底 $(1010)_2,(0001)_2$ 就满足了互不干扰和规模最小两个条件。

如何构造这种互不干扰的线性基？

实际上是对于一个高位基底，尽量地消去低位的 $1$，使得一个基底的最高位只在自己位置是 $1$，其余基底均为 $0$。这样的得到满足线性基性质却又可以进行上述查询的基底。

接下来类似于变进制转换，直接把 $k$ 中对应位是 $1$ 的基底异或起来即可。

inline void rebuild(){
    for(int i=62;i>=0;--i){
        for(int j=i-1;j>=0;--j){
            if(bs[i]&(1ll<<j)) bs[i]^=bs[j];
        }
    }
    for(int i=0;i<=62;++i){
        if(bs[i]) rbs[++tot]=bs[i];
    }
}
inline ll kth(ll k){
    if(chk0){
        if(k==1) return 0;
        --k;
    }
    ll res=0;
    for(int i=tot;i>=1;--i){
        if(k&(1ll<<i-1)) res^=rbs[i];
    }
    return res;
}

参考资料#

• 线性基学习笔记 - Sengxian