【学习笔记】Kruskal 重构树

合集 - 学习笔记(42)

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收起

算法思想#

由于最小瓶颈树一定是最小生成树，所以瓶颈路问题可以和最小生成树算法结合，通过记录下 Kruskal 求最小生成树过程中的一些信息，可以实现瓶颈路的查询。

实现#

考虑模拟 Kruskal 最小生成树的过程，当两个连通块合并时，新建一个节点作为二者的父亲，并将这条边的边权作为这个新建节点的父亲，这样可以得到一个 $2n-1$ 的树。

例题#

不难发现，每个非叶子节点的子树都表示当限制边权小于等于该节点权值时（最大生成树为大于等于），可以互达的节点集合，利用这个性质可以解决限制瓶颈的问题。

同时可以解决形如 $\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n \mathrm{maxdis}(i,j)$，其中 $\mathrm{maxdis}(i,j)$ 表示 $i,j$ 路径上最大边权。

LibreOJ-137 最小瓶颈路（加强版）#

模板题，需要 $O(1)$ 求 $\mathrm{LCA}$。

Luogu-P4768 NOI 2018 归程#

有了瓶颈的限制，很明显是查一下重构树的子树最值，Dijkstra 预处理一下。

CodeForces-1578L Labyrinth *2400#

重构树上 DP。

不难发现更优的策略一定是先解决一个子树再解决另一个子树，也就划分成了子问题，设 $f_u$ 为保证 $u$ 子树全部吃完时初始进入的最大值。容易得到，我们初始在哪个位置并不重要，因为一定可以先不吃而走到真正适合的位置，于是有转移方程：

$$f_u=\max\{\min\{f_{v1},w(u,v1)\}-sum_{v2},\min\{f_{v2},w(u,v2)\}-sum_{v1}\}$$

判断一下是否合法即可。

Luogu-P7834 ONTAK 2010 Peaks 加强版#

重构树子树内查询区间第 $k$ 大，上一个可持久化线段树。

参考资料#

• OI Wiki

• 简单树论 - Alex_Wei

• 洛谷日报 #417 Kruskal 重构树学习笔记