【学习笔记】优化建图

合集 - 学习笔记(42)

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26.【学习笔记】优化建图2023-07-11

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收起

在最短路、强连通分量、2-SAT、网络流等图论问题中，边数有时达到 $O(n^2)$ 甚至 $O(n^3)$，成为时间或空间复杂度的瓶颈所在，使用优化建图可以在不影响效果的情况下建出边数更少的图。

线段树优化建图#

建图方法#

支持以下四种操作：

• $u\to v$ 连边

• $u\to [l,r]$ 连边

• $[l,r]\to v$ 连边

• $[l_1,r_1]\to [l_2,r_2]$ 连边

区间操作想到线段树，可以把区间拆成 $\log n$ 个线段树上区间。先按照线段树建出两棵树：外向树和内向树。对于所有连入一个区间的操作，将边连向外向树，这代表着连入一个大区间的边在经过外向树边后，也可以连入小区间；对于所有从一个区间连出的操作，将边从内向树连出，这代表着一个小区间在经过外向树的边后，可以连出大区间的边。

为了避免冲突，将外向树的编号从 $1$ 开始，内向树的编号从 $4n$ 开始，单个节点的编号从 $8n$ 开始，且要与两棵树的叶子相连。

区间与区间相连按照上面做法是 $O(\log^2 n)$ 条边，可以新建两个节点以一条边相连，将边权设置在这条边上。内向树对应区间全部由其中一个节点连入，外向树对应区间全部连到另一个节点，这样就只有 $O(\log n)$ 条边。

总点数大概在 $10n$ 左右，总边数是 $O(m\log n)$ 级别。

例题#

CodeForces-786B Legacy *2300#

没有区间连区间，建图完跑最短路，复杂度 $O(n\log n\log (n\log n))$。

Luogu-P6348 PA 2011 Journeys#

只有区间连区间，优化建图后跑 01 BFS。

Luogu-P8021 ONTAK 2015 Bajtman i Okrągły Robin#

二分图最大权匹配，转成费用流模型，把代表时刻的右部点优化建图。

Luogu-P5025 SNOI 2017 炸弹#

先缩点，注意到每个强连通分量一定是连续区间，那么可以波及的范围也是连续一段区间，只需求出可达的端点，拓扑转移。

缩点过程用线段树优化建图。

前后缀优化建图#

建图方法#

可以用于连边区间序列的前后缀或树上根链的情况。

对于序列的前后缀，可以对每个节点 $i$ 新建两个复制节点 $pre_i,suf_i$，连边为 $pre_i\to i,pre_{i-1},suf_i\to i,suf_{i+1}$，这样当需要连前缀 $[1,i]$ 时，直接同 $pre_i$ 相连即可，后缀同理。

对于树上根链，直接建内向树，连根链末尾即可。

例题#

Luogu-P6378 PA 2010 Riddle#

2-SAT 模型，第一类边是 $O(n^2)$ 级的，注意到连边为整个集合除了本身的所有节点，就是一个前缀一个后缀。

Luogu-P6965 NEERC 2016 Binary Code#

先建出 Trie 树，若一个串有 ? 则将两种可能都插入。

设 $p_{i,0/1},u_{i,0/1}$ 分别表示第 $i$ 个串填 $0$ 或 $1$ 这一事件以及在 Trie 树上结束的位置，暴力做法是如果 $u_{i,x}$ 和 $u_{j,y}$ 在 Trie 树上有祖先关系，那么 $p_{i,x}\to p_{j,\lnot y},p_{j,y}\to p_{i,\lnot x}$ 连边，跑 2-SAT。

先考虑 $u_{i,x}\neq u_{j,y}$ 的情况，即二者有祖先关系但不重合，连边可以视作 $p_{j,y}$ 向一个前缀所有 $p_{i,\lnot x}$ 连边，一个前缀 $p_{i,x}$ 向所有 $p_{j,\lnot y}$ 连边。

考虑前缀优化，分别建出内向树和外向树，在内向树中，$u_{i,x}\to p_{i,\lnot x}$，这样连 $p_{j,y}\to fa_{u_{j,y}}$ 就是第一种连边；在外向树中，$p_{i,x}\to u_{i,x}$，这样连 $fa_{u_{j,y}}\to p_{j,\lnot y}$ 就是第二种连边。

$u_{i,x}=u_{j,y}$ 的情况就是在一个节点内部连边，看做序列，连边就是与自己以外的相反状态相连，这也是一个前后缀优化。

需要特殊考虑不含 ? 的情况，若两个不含 ? 的串有前后缀关系直接不合法，若一个不含 ? 的串与一个含 ? 的可能结果有前后缀关系就连 $p_{i,x}\to p_{i,\lnot x}$。

注意 Trie 树的节点数可能大于 $5\times 10^5$。

点数和边数巨大，但是可以通过。