【学习笔记】狄利克雷前/后缀和/差分

合集 - 学习笔记(42)

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32.【学习笔记】狄利克雷前/后缀和/差分2023-08-11

33.【学习笔记】DSU on Tree2023-08-2234.【学习笔记】DP 优化 3：闵可夫斯基和优化 DP2023-09-0135.【学习笔记】笛卡尔树2023-09-0536.【学习笔记】Miller-Rabin 算法2023-10-2437.【学习笔记】DP 优化 4：决策单调性2023-11-1538.【学习笔记】DP 优化 5：wqs 二分优化 DP2023-12-0439.【学习笔记】边分治2023-12-2840.【学习笔记】KMP 相关算法2024-01-1041.【学习笔记】概率生成函数2024-01-1142.【学习笔记】离散对数和剩余2024-01-25

收起

概述#

定义约数求和为：

$$f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)$$

也就是 $f=g*\mathrm{I}$，容易反演得到：

$$g(n)=\sum_{d\mid n}\mu\left(\dfrac{n}{d}\right)f(d)$$

称上面形式为约数差分，即约数求和的逆运算。

定义倍数求和为：

$$f(n)=\sum_{n\mid d}g(d)$$

容易发现约数求和等价于 $f=Ag$，其中 $A$ 是矩阵，$f,g$ 均为列向量。注意到 $A_{i,j}=[j\mid i]$，而倍数求和对应出 $f=Bg$，$B_{i,j}=[i\mid j]$，也就是 $B=A^{T}$。

矩阵转置的逆等于矩阵逆的转置，因此 $A^{-1}_{i,j}=\mu\left(\frac{i}{j}\right)[j\mid i]$，可以推得 $B^{-1}_{i,j}=\mu\left(\frac{j}{i}\right)[i\mid j]$，因此：

$$g(n)=\sum_{n\mid d}\mu\left(\dfrac{d}{n}\right)f(d)$$

称上面形式为倍数差分，即倍数求和的逆运算。

如何 $O(n\log \log n)$ 计算#

类似高维前缀和，把每个质数 $p$ 设为一维，狄利克雷前缀和即求约数求和：

for(int i=1;i<=pr[0];++i){
    for(int j=1;j<=lim/pr[i];++j){
        a[j*pr[i]]+=a[j];
    }
}

同理狄利克雷后缀和即求倍数求和：

for(int i=1;i<=pr[0];++i){
    for(int j=lim/pr[i];j>=1;--j){
        a[j]+=a[j*pr[i]];
    }
}

之后狄利克雷前缀差分即求约数差分，本质是逆运算，和 $\mu$ 无关：

for(int i=1;i<=pr[0];++i){
    for(int j=lim/pr[i];j>=1;--j){
        a[j*pr[i]]-=a[j];
    }
}

同理狄利克雷后缀差分即求倍数差分：

for(int i=1;i<=pr[0];++i){
    for(int j=1;j<=lim/pr[i];++j){
        a[j]-=a[j*pr[i]];
    }
}

差分和求和的第二维枚举顺序显然相反，求和的枚举顺序可以轻松手动得到。

复杂度分析类似埃式筛，质数位置的倒数求和是 $O(n\log \log n)$ 的。

参考资料#

• 狄利克雷相关 - command_block

• 容斥原理与反演相关 - joke3579