【学习笔记】差分约束

合集 - 学习笔记(42)

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收起

概述#

差分约束系统，是由 $n$ 个元素和 $m$ 个约束条件构成的，其中每个约束条件形如 $x_i-x_j\le y_k$。

求解#

移项得到 $x_i\le x_j+y_k$，这样三角形不等式的形式类似最短路中的松弛，即由 $j$ 向 $i$ 连 $y_k$ 权值的边，最短路即满足约束条件。

这样便需要一个源点，原图不一定连通，因此建出超级源点 $n+1$，且规定 $x_i\le 0$，即 $x_i \le x_{n+1}+0$，由 $n+1$ 向 $i$ 连 $0$ 权值的边。

这样的负权图最短路可以使用 已死算法 SPFA 来求出。

点击查看代码

int n,m;
struct Graph{
    struct edge{
        int v,w;
        edge()=default;
        edge(int v_,int w_):v(v_),w(w_){}
    };
    vector<edge> E[maxn];
    inline void add_edge(int u,int v,int w){
        E[u].push_back(edge(v,w));
    }
    int dis[maxn],cnt[maxn];
    bool vis[maxn];
    inline void SPFA(){
        queue<int> q;
        memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
        dis[n+1]=0,cnt[n+1]=0,vis[n+1]=1;
        q.push(n+1);
        while(!q.empty()){
            int u=q.front();
            vis[u]=0;
            q.pop();
            for(edge e:E[u]){
                int v=e.v,w=e.w;
                if(dis[u]+w<dis[v]){
                    dis[v]=dis[u]+w,cnt[v]=cnt[u]+1;
                    if(cnt[v]>=n) return printf("NO\n"),void();
                    if(!vis[v]){
                        vis[v]=1;
                        q.push(v);
                    }
                }
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",dis[i]);
        printf("\n");
    }
}G;

int main(){
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;++i) G.add_edge(n+1,i,0);
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int u=read(),v=read(),w=read();
        G.add_edge(v,u,w);
    }
    G.SPFA();
    return 0;
}

对约束条件的调整#

一些简单的变形：

• $x_i-x_j\le k\Rightarrow w(j,i)=k$

• $x_i-x_j\ge k\Rightarrow x_j-x_i\le -k\Rightarrow w(i,j)=-k$

• $x_i=x_j\Rightarrow x_i-x_j\le 0\land x_j-x_i\le 0\Rightarrow w(i,j)=w(j,i)=0$

• $x_i-x_j< k\Rightarrow x_i-x_j\le k-1\Rightarrow w(j,i)=k-1$

• $x_i-x_j> k\Rightarrow x_i-x_j\ge k+1\Rightarrow w(i,j)=-k-1$

对解的特殊限制#

事实上，当 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 为一组解时，$(x_1+k,x_2+k,\cdots,x_n+k)$ 同样为一组解。因此不等式组要么无解要么有无数组解，无解情况即为没有最短路也就是存在负环。

而在初始的设计中，$x_i\le 0$，当需要求出特定范围的解时，可以通过限定 $dis_{n+1}$ 的初始值或 $w(n+1,i)$ 的值来规定。假设将值修改为 $c$，则本质上是有 $x_i\le c$ 的限定。

值得注意的是，最短路求出的结果一定是所有解中最大的。证明考虑最短路树，树边一定满足 $x_i=x_j+w(j,i)$ 而一旦增加 $x_j$ 的值就会使答案不合法。

如果要求出满足 $x_i\ge k$ 的所有解中和最小的值，该如何处理？

首先可以通过变号得到 $-x_i\le -1$，这一点可以对 $dis_{n+1}$ 进行修改。这样所有的 $x$ 值都已经取反，则 $x_i=x_j+w(j,i)$ 变作 $-x_j=-x_i+w(j,i)$，即 有向边方向改变，边权不变，此时最短路得到的最大解与要求最小解互为相反数。这本质上和求最长路时没有区别的。

例题#

Luogu-P3275 SCOI 2011 糖果#

建模比较容易，关键是 SPFA 被卡了。

发现边权只有 $0$ 或 $-1$，那么一个 SCC 中存在边权 $-1$ 即无解，这样每个 SCC 都一定相等，最短路用拓扑排序求出。

参考资料#

• OI Wiki

• 初级图论 - Alex_Wei

• 差分约束系统