【学习笔记】DP 优化 5：wqs 二分优化 DP

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收起

概述#

wqs 二分是一种优化带有数量限制的最优化问题的方式（即题目限制最多/最少/恰好选择 $m$ 个物品时的最大/小值），要求关于数量的函数具有凸性。以最小值为例，要求函数是下凸的。

算法思想#

由于状态数至少 $O(nm)$，在朴素 DP 的基础上进行优化，时间复杂度也不会低于 $O(nm)$，因此要想办法解除 $m$ 的限制。

设函数 $F_i$ 表示选择 $i$ 个物品的最小值，考虑增加一个附加权值 $k$，每选择一个物品需要增加 $k$ 的代价，令 $G_i=F_i+ki$，那么 $G_i$ 也是下凸的，求出此时 $G_i$ 的最小值对应位置 $(p,G_p)$，这实际上等价于用斜率为 $-k$ 的直线去切 $F_i$ 构成的凸包，对应的截距就是 $G_p$。

不难发现，由于凸函数的斜率具有单调性，可以二分 $k$ 来找到使 $(m,G_m)$ 恰好为最小值的情况，这样就能将数量放入转移方程中，从而忽略严格的数量限制。

实现细节#

存在一个可能的问题：$F_i$ 可能出现多点共线的情况，即 $(m,F_m)$ 可能永远无法被切到。

若 $(m,F_m)$ 左右的斜率都为 $K$，那么二分过程中，一定存在斜率为 $K$ 的时刻，此时整个线段的截距都相等，自然可以计算。

同时在二分过程中，如果当前的 $k$ 满足条件，那么直接更新答案为 $G_p-km$，注意不是 $G_p-kp$，也不是取 $\min/\max$。

二分之后，内层的处理一般是使用较为朴素的 DP 优化手段，例如斜率优化、决策单调性分治以及二分队列。

内层处理的 DP 可能存在值相同的情况，此时可以选择数量尽量多的方案，这样如果此时的 $p\ge m$，则可能是合法答案，可以更新，否则不是。

函数凸性的证明#

在大多数题目中，$F_i$ 的凸性都是通过感性理解和打表来验证的，但也存在一部分题目具有良好的性质。

对于将 $[1,n]$ 划分为有数量限制的若干段求最值的区间划分问题，转移方程形如：

$$f_{k,i}=\min_{j=1}^i \{f_{k-1,j-1}+w(j,i)\}$$

若 $w(j,i)$ 满足四边形不等式，则 $F_i=f_{i,n}$ 是凸函数。

证明从凸函数差分数组单调性入手，即证明 $F_i-F_{i-1}\le F_{i+1}-F_i\Leftrightarrow 2F_i\le F_{i-1}+F_{i+1}$。

考虑 $F_{i-1}$ 对应的区间划分 $[a_1,d_1],[a_2,d_2]\cdots [a_{i-1},d_{i-1}]$ 以及 $F_{i+1}$ 对应的区间划分 $[b_1,c_1],[b_2,c_2]\cdots [b_{i+1},c_{i+1}]$，找到最小的 $j$ 使得 $c_{j+1}\le d_j$，同时满足 $b_{j+1}>a_j$，即 $a_j<b_{j+1}\le c_{j+1}\le d_j$，此时将 $[a_j,d_j],[b_{j+1},c_{j+1}]$ 之后的区间交换，这两个区间交换右端点，即 $[a_1,d_1],[a_2,d_2]\cdots [a_j,c_{j+1}],[b_{j+2},c_{j+2}]\cdots [b_{i+1},c_{i+1}]$ 以及 $[b_1,c_1],[b_2,c_2]\cdots [b_{j+1},d_j],[a_{j+1},d_{j+1}]\cdots [a_{i-1},d_{i-1}]$。

这样两个划分大小都是 $i$。设交换后两个方案的权值和 $S$，由于 $F_i$ 是最优方案，有 $2F_i\le S$，同时根据四边形不等式，交换后的 $w(a_j,c_{j+1})+w(b_{j+1},d_j)\le w(a_j,d_j)+w(b_{j+1},c_{j+1})$，那么 $2F_i\le S\le F_{i-1}+F_{i+1}$，凸性得证。

满足四边形不等式的基础上，还可以使用二分队列来优化，一举两得。

例题#

Luogu-P2619 国家集训队 Tree I#

不是 DP 题目，但是是比较经典的 wqs 二分。

记 $F_i$ 为选择 $i$ 条白色边的最小生成树，数量尽量多对应排序时白边优先。

Luogu-P4983 忘情#

整理一下发现就是 $(\sum x_i +1)^2$，满足四边形不等式所以是凸的，可以 wqs 二分。

内层用斜率优化或者二分队列均可。

AtCoder-JOISP2023_G ビーバーの合唱#

首先通过调整，使得第 $i$ 个 $\texttt{A}$ 在第 $i$ 个 $\texttt{B}$ 之前，容易发现对于所有方案，这样的调整都是要进行的。

之后大致考虑一个 DP，$f_{k,i}$ 表示当前把前 $i$ 个 $\texttt{A}$ 和 $\texttt{B}$ 划分成 $k$ 段的最小操作次数。

转移需要考虑贡献函数 $w(j,i)$ 表示将第 $[j+1,i]$ 的 $\texttt{A}$ 和 $\texttt{B}$ 调整成所有 $\texttt{A}$ 都在 $\texttt{B}$ 前的最小操作次数。由于现在保证第 $i$ 个 $\texttt{A}$ 一定在第 $\texttt{B}$ 前，那么将第 $j+1$ 个 $\texttt{A}$ 到第 $i$ 个 $\texttt{B}$ 的部分拿出来，发现可以分成五部分：一些排名在 $[j+1,i]$ 内的 $\texttt{A}$、一些排名 $\le j$ 的 $\texttt{B}$、一些 $\texttt{A}$ 和 $\texttt{B}$、一些排名 $>i$ 的 $\texttt{A}$ 以及一些排名在 $[j+1,i]$ 内的 $\texttt{B}$。发现实际上操作只在第三部分进行，那么每个 $\texttt{A}$ 需要被操作的次数等于前面 $\texttt{B}$ 的个数。

设 $pre_i$ 表示第 $i$ 个 $\texttt{A}$ 前面 $\texttt{B}$ 的个数，那么得到贡献函数 $w(j,i)=\sum_{p=j+1}^i \max(pre_p-j,0)$，容易证明 $w(j,i)$ 满足四边形不等式，可以 wqs 二分优化。

考虑如何优化内层 DP，首先是去掉取 $\max$，设 $pos_i$ 表示第一个 $pre\ge i$ 的 $\texttt{A}$，得到 $w(j,i)=\sum_{p=pos_j}^i pre_p-j$。记 $pre_i$ 的前缀和 $sum_i$，就化简成了 $w(j,i)=sum_i-sum_{pos_j-1}+(i-pos_j+1)\times j$，可以斜率优化。

同样存在 $pos_j>i$ 的情况不能拆成前缀和，这时贡献函数为 $0$，而由于 $pos_j$ 单调，在斜率优化时可以等到 $\ge pos_j$ 的 $i$ 出现再把 $j$ 加入凸包，同时还要维护没有加入的 $j$ 中 $f_j$ 的最小值，可以单调队列。这样内层 DP 就做到线性。

参考资料#

• OI Wiki

• DP 优化方法大杂烩 I - Alex_Wei