【学习笔记】DP 优化 3：闵可夫斯基和优化 DP

合集 - 学习笔记(42)

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收起

概述#

用于优化 $(\max/\min,+)$ 卷积，形如：

$$f_i=\max_{j=0}^i/\min_{j=0}^i \{g_j+h_{i-j}\}$$

要求 $g,h$ 具有凸性。

算法流程#

以 $\max$ 为例，要求 $g,h$ 形成上凸包，对 $g,h$ 差分，那么 $f_i$ 相当于在 $\Delta g$ 和 $\Delta h$ 中选两个前缀，要求长度和为 $i$，权值和最大。由于 $\Delta g$ 和 $\Delta h$ 都单调不升，那么归并排序之后选前 $i$ 个数就是最优。

同理 $\min$ 要求 $g,h$ 形成下凸包。

vector<int> Minkowski(vector<int> g,vector<int> h){
    vector<int> f;
    for(int i=(int)g.size()-1;i>=1;--i) g[i]-=g[i-1];
    for(int i=(int)h.size()-1;i>=1;--i) h[i]-=h[i-1];
    f.resize(g.size()+h.size());
    merge(g.begin(),g.end(),h.begin(),h.end(),f.begin(),greater<int>());
    for(int i=1;i<f.size();++i) f[i]+=f[i-1];
    return f;
}

优化 DP#

通常与分治同时使用。

转移方程形如：

$$f_{i,j}=\max_{j=0}^i/\min_{j=0}^i \{f_{i-1,j}+w_{i,i-j}\}$$

若 $f,w$ 均具有凸性，可以使用闵可夫斯基和优化至 $O(n)$ 转移一行，改成分治求区间的 $f$ 值，每一层的总规模 $O(n)$，可以做到 $O(n\log n)$。

例题#

QOJ-5421 Factories Once More#

考虑树上背包，设 $f_{u,i}$ 为 $u$ 子树内选 $i$ 个节点的最大答案，转移是：

$$f_{u,i}=\max_{j=0}^{siz_v} \{f_{u,i-j}+f_{v,j}+j(k-j)\times w(u,v)\}$$

注意到贡献函数是上凸的，转移形如 $(\max,+)$ 卷积，因此得知 $f_u$ 是上凸的，那么维护差分数组使用闵可夫斯基和优化。

需要启发式合并，维护单调不升的差分数组使用 Splay，而 $j(k-j)\times w(u,v)$ 差分后是等差数列，维护一个加等差数列的标记即可。

时间复杂度 $O(n\log n)$。

参考资料#

• 【学习笔记】闵可夫斯基和 - APJifengc