【学习笔记】DP 优化 1：基础优化
矩阵优化 DP
用矩阵描述每次转移时 DP 数组的线性变换，如果每次变换转移相同，可以根据矩阵乘法的结合律先快速幂计算出总的转移矩阵。
这里矩阵乘法不只是 \((+,\times)\)，实际上只要 \((\oplus,\otimes)\) 满足 \(\otimes\) 对 \(\oplus\) 有分配律，\(\otimes\) 有结合律，\(\oplus\) 有交换律即可。
证明：
从上到下依次运用了左分配律、交换律、结合律以及右分配律。
比较经典的广义矩阵乘法有 \((+,\times),(\max/\min,+),(\gcd,\times)\)。
其他略去不写。
数据结构优化 DP
DP 转移区间修改时，可以考虑放到线段树上进行，类似区间加、区间 \(\max\)、区间推平等操作，可以 \(O(n^k)\) 优化到 \(O(n^{k-1}\log n)\)。
其他略去不写。
倍增优化 DP
DP 状态由走 \(k\) 步改为走 \(2^k\) 步，求解时拼起来，类似 ST 表或是树上倍增的思想。
其他略去不写。
单调队列优化 DP
概述
对任意状态和转移复杂度的 DP 都可以优化减少枚举状态中的一维。
要求转移方程形如：
其中 \(A\) 只关于 \(i\) 而 \(B\) 只关于 \(j\)，且 \(l_i\) 单调不降，整理后得到：
发现决策点只与其自身有关，且符合滑动窗口的类型，因此可以用单调队列维护出当前决策区间的最优决策点，可以把 \(O(n)\) 枚举优化为 \(O(1)\) 转移。
例题
Luogu-P2569 SCOI 2010 股票交易
设 \(f_{i,j}\) 为 \(i\) 天持有 \(j\) 股的最大收益，按照题目要求容易得到：
对 \(k\) 的枚举可以前缀 \(\max\) 优化掉，剩下对 \(l\) 的枚举区间分别是 \([j,\min(j+AS_i,\mathrm{MaxP})],[\max(j-BS_i,0),j]\)，区间的移动具有单调性，调整枚举顺序即可。
Luogu-P3572 POI 2014 PTA-Little Bird
写出转移方程：
看似无法把转移方程独立成只与 \(j\) 有关，但是每次最多增加 \(1\)，因此当 \(f\) 值相等时 \(h\) 值较大的更优，而其余情况 \(f\) 值更小的一定不劣，符合单调性，可以单调队列优化。
斜率优化 DP
概述
解决形如：
其中 \(A,C\) 只关于 \(i\) 而 \(B,D\) 只关于 \(j\)，此时由于 \(i,j\) 共同产生影响，无法独立出 \(j\) 单调队列优化。
设 \(f_i\) 为装前 \(i\) 个玩具的最小花费，设 \(s_i=\sum_{j=1}^i (C_i+1)\)，可以写出初步转移方程：
为了方便，令 \(L=L+1\)，把平方拆开：
按照上面的形式分组：
假设 \(0\le j_1<j_2<i\)，我们思考在怎样的条件下，从 \(j_1\) 转移更优。
也就是：
\(A\) 部分可以消去，再移项：
不等号右边类似于一个斜率 \((Y_{j_2}-Y_{j_1})/(X_{j_2}-X_{j_1})\) 的形式，也就是如果拿斜率 \(2s_i\) 的直线判断所有的 \(j\)，那么第一个满足斜率大于 \(2s_i\) 的点对 \((j_1,j_2)\) 中 \(j_1\) 就是最优决策点。因为显然在这之前的所有点对都是右侧点优于左侧点，而在这之后的所有点对都是左侧点优于右侧点，类似于具有凸性。
现在从线性规划的角度去思考这个问题，我们把转移方程的 \(\min\) 去掉，改为：
这样整理一下：
这符合 \(y=kx+b\) 的直线表达式，且 \(x,y\) 对应的值 \(s_j\) 与 \(f_j+s_j^2+2Ls_j\) 恰好对应上面比较 \(j_1,j_2\) 时的形式。
这样我们相当于是拿斜率为 \(2s_i\) 的直线去切决策点，截距最小的一个点即为最优决策点，此时 \(f_i-s^i2+2Ls_i\) 最小，即 \(f_i\) 最小。
结合上图理解，每个点表示 \([0,i-1]\) 即已经得出 DP 值的位置，容易发现拿直线去切所有决策点时，\(D\) 点的截距最小。
现在问题时如何维护这些决策点，在本题中 \(X_j=s_j\) 单调递增，因此每次都会在右侧增加一个点，考虑点 \((E,F,I)\) 三点的关系，一条任意斜率直线从下向上切 \(I\) 过程中一定会先切到 \(E\) 或 \(F\)，也就是说 \(I\) 一定不是决策点，可以扔掉。这就形成了一个凸包。
对于取 \(\min\) 的情况维护下凸包（斜率单调递增），对于取 \(\max\) 的情况就要截距最大，维护上凸包（斜率单调递减）。
后面的内容均以取 \(\min\) 为例子讨论。
\(X\) 与斜率 \(k_i\) 均具有单调性的情况
即当一段 \((j_1,j_2)\) 斜率小于当前的斜率后就不可能再作为转移点，即判断 \(\mathrm{slope}(j_1,j_2)\le k_i\)。
在右侧加入新的点 \(i\) 时不断弹出直到找到第一段 \((j_1,j_2)\) 满足 \(\mathrm{slope}(j_1,j_2)<\mathrm{slope}(j_2,i)\)，将 \(i\) 加入。
后者的操作就是单调栈维护凸包，由于前者的操作具有单调性，使用单调队列。
每次完成前者操作后，队首即为最优决策点。
时间复杂度 \(O(n)\)。
只有 \(X\) 具有单调性的情况
维护凸包的部分同样是单调栈操作，只不过查询不具有单调性不能扔掉当前无用决策点，但每次单调栈二分即可。
时间复杂度 \(O(n\log n)\)。
没有任何单调性
见 李超线段树学习笔记。
一些注意点
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在队首弹出无用决策点或是二分决策点时，判断斜率是否取等并不重要，因为平行的直线切在任何一个点上截距都不变。
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在单调栈保持凸包斜率单调性时，应当保证凸包斜率严格单调，即当且仅当 \(\mathrm{slope}(j_1,j_2)<\mathrm{slope}(j_2,i)\) 才停止弹栈。
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关于精度问题使用
long double可以避免绝大多数问题，但是一些题目中会出现 \(X\) 不严格单调递增的情况，此时 \(X_{j_1}=X_{j_2}\) 是我们在计算斜率是不想看到的。一个简单的处理是：
例题
Luogu-P5785 SDOI 2012 任务安排
维护结束时间是困难的，考虑拆开贡献，如果一批任务为 \([l,r]\)，用时为 \(s+\sum_{i=l}^r t_i\)，那么 \([l,n]\) 的结束时间都会增加这个值，将贡献提前计算。
设 \(st_i=\sum_{j=1}^i t_j,sc_i=\sum_{j=i+1}^n c_j\)，得到转移方程：
拆开整理成：
这样保证 \(X=-sc_j\) 是单调不降的，\(t\) 可能为负，斜率 \(st_i\) 单调性不保证，因此单调栈维护凸包并二分。
Luogu-P6047 丝之割
关键观察是如果两条弦相交，那么割掉 \(u\) 较小（如果 \(u\) 相等则是 \(v\) 较大）的情况下一定也割掉了另一条，这样有用的弦都是 \(u,v\) 递增。
设 \(pre_i,suf_i\) 分别是 \(a_i\) 的前缀 \(\min\) 和 \(b_i\) 的后缀 \(\min\)，转移是：
斜率优化，可以直接使用单调队列。
参考资料
单调队列优化 DP
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OI-Wiki
