【学习笔记】DP 优化 1：基础优化

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矩阵优化 DP#

用矩阵描述每次转移时 DP 数组的线性变换，如果每次变换转移相同，可以根据矩阵乘法的结合律先快速幂计算出总的转移矩阵。

这里矩阵乘法不只是 $(+,\times)$ ，实际上只要 $(\oplus,\otimes)$ 满足 $\otimes$ 对 $\oplus$ 有分配律， $\otimes$ 有结合律， $\oplus$ 有交换律即可。

证明：

\begin{aligned} ((A_{w \times x} B_{x \times y}) C_{y \times z})_{i l} & = ⨁_{k = 1}^{y} (⨁_{j = 1}^{x} A_{i j} \otimes B_{j k}) \otimes C_{k l} \\ = & ⨁_{k = 1}^{y} ⨁_{j = 1}^{x} A_{i j} \otimes B_{j k} \otimes C_{k l} \\ = & ⨁_{j = 1}^{x} ⨁_{k = 1}^{y} A_{i j} \otimes B_{j k} \otimes C_{k l} \\ = & ⨁_{j = 1}^{x} A_{i j} \otimes (⨁_{k = 1}^{y} B_{j k} \otimes C_{k l}) \\ = & (A_{w \times x} (B_{x \times y} C_{y \times z}))_{i l} \end{aligned}

$\begin{aligned} ((A_{w\times x}B_{x\times y})C_{y\times z})_{il}&=\bigoplus_{k=1}^y\left(\bigoplus_{j=1}^x A_{ij}\otimes B_{jk}\right)\otimes C_{kl}\\ =&\bigoplus_{k=1}^y\bigoplus_{j=1}^x A_{ij}\otimes B_{jk}\otimes C_{kl}\\ =&\bigoplus_{j=1}^x\bigoplus_{k=1}^y A_{ij}\otimes B_{jk}\otimes C_{kl}\\ =&\bigoplus_{j=1}^x A_{ij}\otimes \left(\bigoplus_{k=1}^y B_{jk}\otimes C_{kl}\right)\\ =&(A_{w\times x}(B_{x\times y}C_{y\times z}))_{il} \end{aligned}$

从上到下依次运用了左分配律、交换律、结合律以及右分配律。

比较经典的广义矩阵乘法有 $(+,\times),(\max/\min,+),(\gcd,\times)$ 。

其他略去不写。

数据结构优化 DP#

DP 转移区间修改时，可以考虑放到线段树上进行，类似区间加、区间 $\max$ 、区间推平等操作，可以 $O(n^k)$ 优化到 $O(n^{k-1}\log n)$ 。

其他略去不写。

倍增优化 DP#

DP 状态由走 $k$ 步改为走 $2^k$ 步，求解时拼起来，类似 ST 表或是树上倍增的思想。

其他略去不写。

单调队列优化 DP#

概述#

对任意状态和转移复杂度的 DP 都可以优化减少枚举状态中的一维。

要求转移方程形如：

f_{i} = max_{l_{i} \leq j < i} {f_{j} + A_{i} + B_{j}}

$f_i=\max_{l_i\le j<i} \{f_j+A_i+B_j\}$

其中 $A$ 只关于 $i$ 而 $B$ 只关于 $j$ ，且 $l_i$ 单调不降，整理后得到：

f_{i} = A_{i} + max_{l_{i} \leq j < i} {f_{j} + B_{j}}

$f_i=A_i+\max_{l_i\le j<i} \{f_j+B_j\}$

发现决策点只与其自身有关，且符合滑动窗口的类型，因此可以用单调队列维护出当前决策区间的最优决策点，可以把 $O(n)$ 枚举优化为 $O(1)$ 转移。

例题#

Luogu-P2569 SCOI 2010 股票交易 #

设 $f_{i,j}$ 为 $i$ 天持有 $j$ 股的最大收益，按照题目要求容易得到：

f_{i, j} = max_{1 \leq k < i - W, j \leq l \leq min (j + A S_{i}, M a x P)} {f_{k, l} - (l - j) \times A P_{i}}

$f_{i,j}=\max_{1\le k<i-W,j\le l\le \min(j+AS_i,\mathrm{MaxP})} \{f_{k,l}-(l-j)\times AP_i\}$

f_{i, j} = max_{1 \leq k < i - W, max (j - B S_{i}, 0) \leq l \leq j} {f_{k, l} + (j - l) \times B P_{i}}

$f_{i,j}=\max_{1\le k<i-W,\max(j-BS_i,0)\le l\le j} \{f_{k,l}+(j-l)\times BP_i\}$

对 $k$ 的枚举可以前缀 $\max$ 优化掉，剩下对 $l$ 的枚举区间分别是 $[j,\min(j+AS_i,\mathrm{MaxP})],[\max(j-BS_i,0),j]$ ，区间的移动具有单调性，调整枚举顺序即可。

Luogu-P3572 POI 2014 PTA-Little Bird #

写出转移方程：

f_{i} = {min}_{j = i - k}^{i - 1} {f_{j} + [h_{i} \geq h_{j}]}

$f_i=\min_{j=i-k}^{i-1} \{f_j+[h_i\ge h_j]\}$

看似无法把转移方程独立成只与 $j$ 有关，但是每次最多增加 $1$ ，因此当 $f$ 值相等时 $h$ 值较大的更优，而其余情况 $f$ 值更小的一定不劣，符合单调性，可以单调队列优化。

斜率优化 DP#

概述#

解决形如：

f_{i} = {max}_{j = 0}^{i - 1} {f_{j} + A_{i} + B_{j} + C_{i} \times D_{j}}

$f_i=\max_{j=0}^{i-1} \{f_j+A_i+B_j+C_i\times D_j\}$

其中 $A,C$ 只关于 $i$ 而 $B,D$ 只关于 $j$ ，此时由于 $i,j$ 共同产生影响，无法独立出 $j$ 单调队列优化。

例题：Luogu-P3195 HNOI 2008 玩具装箱

设 $f_i$ 为装前 $i$ 个玩具的最小花费，设 $s_i=\sum_{j=1}^i (C_i+1)$ ，可以写出初步转移方程：

f_{i} = {min}_{j = 0}^{i - 1} {f_{j} + (s_{i} - s_{j} - 1 - L)^{2}}

$f_i=\min_{j=0}^{i-1}\{f_j+(s_i-s_j-1-L)^2\}$

为了方便，令 $L=L+1$ ，把平方拆开：

f_{i} = {min}_{j = 0}^{i - 1} {f_{j} + s_{i}^{2} + s_{j}^{2} + L^{2} - 2 L s_{i} + 2 L s_{j} - 2 s_{i} s_{j}}

$f_i=\min_{j=0}^{i-1}\{f_j+s_i^2+s_j^2+L^2-2Ls_i+2Ls_j-2s_is_j\}$

按照上面的形式分组：

f_{i} = {min}_{j = 0}^{i - 1} {f_{j} + (s_{i}^{2} - 2 L s_{i}) + (s_{j}^{2} + 2 L s_{j}) - 2 s_{i} s_{j}}

$f_i=\min_{j=0}^{i-1}\{f_j+(s_i^2-2Ls_i)+(s_j^2+2Ls_j)-2s_is_j\}$

假设 $0\le j_1<j_2<i$ ，我们思考在怎样的条件下，从 $j_1$ 转移更优。

也就是：

f_{j_{1}} + (s_{i}^{2} - 2 L s_{i}) + (s_{j_{1}}^{2} + 2 L s_{j_{1}}) - 2 s_{i} s_{j_{1}} < f_{j_{2}} + (s_{i}^{2} - 2 L s_{i}) + (s_{j_{2}}^{2} + 2 L s_{j_{2}}) - 2 s_{i} s_{j_{2}} <

$f_{j_1}+(s_i^2-2Ls_i)+(s_{j_1}^2+2Ls_{j_1})-2s_is_{j_1}<f_{j_2}+(s_i^2-2Ls_i)+(s_{j_2}^2+2Ls_{j_2})-2s_is_{j_2}<$

$A$ 部分可以消去，再移项：

2 s_{i} (s_{j_{2}} - s_{j_{1}}) < (f_{j_{2}} + s_{j_{2}}^{2} + 2 L s_{j_{2}}) - (f_{j_{1}} + s_{j_{1}}^{2} + 2 L s_{j_{1}})

$2s_i(s_{j_2}-s_{j_1})<(f_{j_2}+s_{j_2}^2+2Ls_{j_2})-(f_{j_1}+s_{j_1}^2+2Ls_{j_1})$

2 s_{i} < \frac{(f_{j_{2}} + s_{j_{2}}^{2} + 2 L s_{j_{2}}) - (f_{j_{1}} + s_{j_{1}}^{2} + 2 L s_{j_{1}})}{s_{j_{2}} - s_{j_{1}}}

$2s_i<\dfrac{(f_{j_2}+s_{j_2}^2+2Ls_{j_2})-(f_{j_1}+s_{j_1}^2+2Ls_{j_1})}{s_{j_2}-s_{j_1}}$

不等号右边类似于一个斜率 $(Y_{j_2}-Y_{j_1})/(X_{j_2}-X_{j_1})$ 的形式，也就是如果拿斜率 $2s_i$ 的直线判断所有的 $j$ ，那么第一个满足斜率大于 $2s_i$ 的点对 $(j_1,j_2)$ 中 $j_1$ 就是最优决策点。因为显然在这之前的所有点对都是右侧点优于左侧点，而在这之后的所有点对都是左侧点优于右侧点，类似于具有凸性。

现在从线性规划的角度去思考这个问题，我们把转移方程的 $\min$ 去掉，改为：

f_{i} = f_{j} + (s_{i}^{2} - 2 L s_{i}) + (s_{j}^{2} + 2 L s_{j}) - 2 s_{i} s_{j}

$f_i=f_j+(s_i^2-2Ls_i)+(s_j^2+2Ls_j)-2s_is_j$

这样整理一下：

(f_{j} + s_{j}^{2} + 2 L s_{j}) = 2 s_{i} \times s_{j} + (f_{i} - s_{i}^{2} + 2 L s_{i})

$(f_j+s_j^2+2Ls_j)=2s_i\times s_j+(f_i-s_i^2+2Ls_i)$

这符合 $y=kx+b$ 的直线表达式，且 $x,y$ 对应的值 $s_j$ 与 $f_j+s_j^2+2Ls_j$ 恰好对应上面比较 $j_1,j_2$ 时的形式。

这样我们相当于是拿斜率为 $2s_i$ 的直线去切决策点，截距最小的一个点即为最优决策点，此时 $f_i-s^i2+2Ls_i$ 最小，即 $f_i$ 最小。

结合上图理解，每个点表示 $[0,i-1]$ 即已经得出 DP 值的位置，容易发现拿直线去切所有决策点时， $D$ 点的截距最小。

现在问题时如何维护这些决策点，在本题中 $X_j=s_j$ 单调递增，因此每次都会在右侧增加一个点，考虑点 $(E,F,I)$ 三点的关系，一条任意斜率直线从下向上切 $I$ 过程中一定会先切到 $E$ 或 $F$ ，也就是说 $I$ 一定不是决策点，可以扔掉。这就形成了一个凸包。

对于取 $\min$ 的情况维护下凸包（斜率单调递增），对于取 $\max$ 的情况就要截距最大，维护上凸包（斜率单调递减）。

后面的内容均以取 $\min$ 为例子讨论。

$X$ 与斜率 $k_i$ 均具有单调性的情况#

即当一段 $(j_1,j_2)$ 斜率小于当前的斜率后就不可能再作为转移点，即判断 $\mathrm{slope}(j_1,j_2)\le k_i$ 。

在右侧加入新的点 $i$ 时不断弹出直到找到第一段 $(j_1,j_2)$ 满足 $\mathrm{slope}(j_1,j_2)<\mathrm{slope}(j_2,i)$ ，将 $i$ 加入。

后者的操作就是单调栈维护凸包，由于前者的操作具有单调性，使用单调队列。

每次完成前者操作后，队首即为最优决策点。

时间复杂度 $O(n)$ 。

只有 $X$ 具有单调性的情况#

维护凸包的部分同样是单调栈操作，只不过查询不具有单调性不能扔掉当前无用决策点，但每次单调栈二分即可。

时间复杂度 $O(n\log n)$ 。

没有任何单调性#

见李超线段树学习笔记。

一些注意点#

在队首弹出无用决策点或是二分决策点时，判断斜率是否取等并不重要，因为平行的直线切在任何一个点上截距都不变。
在单调栈保持凸包斜率单调性时，应当保证凸包斜率严格单调，即当且仅当 $\mathrm{slope}(j_1,j_2)<\mathrm{slope}(j_2,i)$ 才停止弹栈。
关于精度问题使用 long double 可以避免绝大多数问题，但是一些题目中会出现 $X$ 不严格单调递增的情况，此时 $X_{j_1}=X_{j_2}$ 是我们在计算斜率是不想看到的。一个简单的处理是：

\frac{Y_{j_{2}} - Y_{j_{1}}}{X_{j_{2}} - X_{j_{1}}} \geq \frac{Y_{j_{3}} - Y_{j_{2}}}{X_{j_{3}} - X_{j_{2}}} \Leftrightarrow (Y_{j_{2}} - Y_{j_{1}}) (X_{j_{3}} - X_{j_{2}}) \geq (Y_{j_{3}} - Y_{j_{2}}) (X_{j_{2}} - X_{j_{1}})

$\dfrac{Y_{j_2}-Y_{j_1}}{X_{j_2}-X_{j_1}}\ge \dfrac{Y_{j_3}-Y_{j_2}}{X_{j_3}-X_{j_2}}\Leftrightarrow (Y_{j_2}-Y_{j_1})(X_{j_3}-X_{j_2})\ge (Y_{j_3}-Y_{j_2})(X_{j_2}-X_{j_1})$

例题#

Luogu-P5785 SDOI 2012 任务安排 #

维护结束时间是困难的，考虑拆开贡献，如果一批任务为 $[l,r]$ ，用时为 $s+\sum_{i=l}^r t_i$ ，那么 $[l,n]$ 的结束时间都会增加这个值，将贡献提前计算。

设 $st_i=\sum_{j=1}^i t_j,sc_i=\sum_{j=i+1}^n c_j$ ，得到转移方程：

f_{i} = {min}_{j = 0}^{i - 1} {f_{j} + (s t_{i} - s t_{j} + s) \times s c_{j}}

$f_i=\min_{j=0}^{i-1} \{f_j+(st_i-st_j+s)\times sc_{j}\}$

拆开整理成：

f_{j} - (s t_{j} - s) \times s c_{j} = s t_{i} \times (- s c_{j}) + f_{i}

$f_j-(st_j-s)\times sc_j=st_i\times (-sc_j)+f_i$

这样保证 $X=-sc_j$ 是单调不降的， $t$ 可能为负，斜率 $st_i$ 单调性不保证，因此单调栈维护凸包并二分。

Luogu-P6047 丝之割 #

关键观察是如果两条弦相交，那么割掉 $u$ 较小（如果 $u$ 相等则是 $v$ 较大）的情况下一定也割掉了另一条，这样有用的弦都是 $u,v$ 递增。

设 $pre_i,suf_i$ 分别是 $a_i$ 的前缀 $\min$ 和 $b_i$ 的后缀 $\min$ ，转移是：

f_{i} = {min}_{j = 0}^{i - 1} f_{j} + p r e_{u_{j + 1} - 1} \times s u f_{v_{i} - + 1}

$f_i=\min_{j=0}^{i-1} f_j+pre_{u_{j+1}-1}\times suf_{v_i - +1}$

斜率优化，可以直接使用单调队列。

参考资料#

单调队列优化 DP#

OI-Wiki
DP 优化方法大杂烩 I - Alex_Wei

斜率优化 DP#

作者：SoyTony

出处：https://www.cnblogs.com/SoyTony/p/Learning_Notes_about_DP_Optimization_1.html

版权：本作品采用「署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际」许可协议进行许可。

posted @ 2023-07-03 18:59 SoyTony 阅读(154) 评论(1) 编辑收藏举报

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