【学习笔记】Bostan-Mori 算法

合集 - 学习笔记(42)

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21.【学习笔记】Bostan-Mori 算法2023-07-02

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其实是用于常系数齐次线性递推，只不过本篇博文只讲解如何求分式的高次项系数。

已知多项式 $f(x),g(x)$ ，要求： $[x^k]\dfrac{f(x)}{g(x)}$ ，其中 $f(x),g(x)$ 的次数为 $n,m$ ， $n,m\le 10^5,k\le 10^9$ 。

算法流程如下：

分式上下同乘 $g(-x)$ ，也就是 $g$ 的奇次项都取反的多项式，得到：

[x^{k}] \frac{f (x)}{g (x)} = [x^{k}] \frac{f (x) g (- x)}{g (x) g (- x)}

$[x^k]\dfrac{f(x)}{g(x)}=[x^k]\dfrac{f(x)g(-x)}{g(x)g(-x)}$

分母部分一个重要的性质是，由于奇次项系数为相反数，那么最终卷积的结果奇次项都为 $0$ ，所以 $g(x)g(-x)=H(x^2)$ ，把 $f(x)g(-x)$ 奇偶分类，变成 $f(x)g(-x)=F(x^2)+xG(x^2)$ ，这样可以得到：

[x^{k}] \frac{f (x)}{g (x)} = [x^{k}] \frac{f (x) g (- x)}{g (x) g (- x)} = [x^{k}] \frac{F (x^{2}) + x G (x^{2})}{H (x^{2})}

$[x^k]\dfrac{f(x)}{g(x)}=[x^k]\dfrac{f(x)g(-x)}{g(x)g(-x)}=[x^k]\dfrac{F(x^2)+xG(x^2)}{H(x^2)}$

注意到 $[x^k]$ 只会由分子中某个多项式贡献而来，之后上下的自变量就可以由 $x^2$ 变为 $x$ ，具体地：

[x^{k}] \frac{f (x)}{g (x)} = [x^{k}] \frac{f (x) g (- x)}{g (x) g (- x)} = [x^{k}] \frac{F (x^{2}) + x G (x^{2})}{H (x^{2})} = {\begin{cases} [x^{⌊ k / 2 ⌋}] \frac{F (x)}{H (x)} & 2 ∣ k \\ [x^{⌊ k / 2 ⌋}] \frac{G (x)}{H (x)} & 2 ∤ k \end{cases}

$[x^k]\dfrac{f(x)}{g(x)}=[x^k]\dfrac{f(x)g(-x)}{g(x)g(-x)}=[x^k]\dfrac{F(x^2)+xG(x^2)}{H(x^2)}= \begin{cases} [x^{\lfloor k/2\rfloor}]\dfrac{F(x)}{H(x)}&2\mid k\\ [x^{\lfloor k/2\rfloor}]\dfrac{G(x)}{H(x)}&2\not\mid k \end{cases}$

每次减半，最终 $k=0$ 时输出常数项的结果即可。注意到每次卷积规模扩大后只取一半系数使规模减小，所以复杂度 $O(n\log n\log k)$ 。

inline void Bostan_Mori(int N,Poly F,Poly G){
    int L=F.deg;
    Poly H,A,B;
    F.set(L<<1),G.set(L<<1),H.set(L<<1),A.set(L<<1),B.set(L<<1);
    while(N){
        H=G;
        for(int i=1;i<L;i+=2) H[i]=mod-H[i];
        F.NTT(L<<1,1),G.NTT(L<<1,1),H.NTT(L<<1,1);
        for(int i=0;i<L<<1;++i) A[i]=F[i]*H[i]%mod,B[i]=G[i]*H[i]%mod;
        A.NTT(L<<1,0),B.NTT(L<<1,0);
        for(int i=0;i<L;++i) B[i]=B[i*2];
        for(int i=0;i<L;++i) A[i]=A[2*i+(N&1)];
        A.clear(L,(L<<1)-1),B.clear(L,(L<<1)-1);
        F=A,G=B;
        N>>=1;
    }
    printf("%llu\n",F[0]*q_pow((int)G[0],mod-2,mod)%mod);
}