【题解】2024 北京高考数学 21 题

简要题意#

先扔掉前两问。

对数列 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8$ ，每次任意对 $i\in \{1,2\},j\in \{3,4\},k\in \{5,6\},w\in \{7,8\},2\mid i+j+k+w$ 的 $a_i,a_j,a_k,a_w$ 进行 $+1$ 操作。

在 $a_1+a_3+a_5+a_7$ 为偶数的条件下，证明“ $a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6=a_7+a_8$ ”是“存在操作序列使得操作后 $a_i$ 均相等”的充要条件。

解法#

必要性#

不妨令最终 $a_i=A$ ，共操作 $B$ 次，则有 $a_1+a_2+B=a_3+a_4+B=a_5+a_6+B=a_7+a_8+B=2A$ ，因此必要性成立。

充分性#

只需给出一种构造使得操作后 $a_i$ 均相等。

考虑对题目进行转化，切入点是判定以及操作。对于判定，容易发现，只要达到 $a_1=a_3=a_5=a_7$ ，就可以直接进行 $1,3,5,7$ 或 $2,4,6,8$ 操作来达到最终目的，因此只需给出达到奇数位置相等的构造。对于操作，发现在判定转化后， $1,3,5,7$ 与 $2,4,6,8$ 不会产生影响，那么每次操作实际是两奇两偶，由于只考虑奇数位置，所以每次操作是给两个位置 $+1$ 。

不妨设 $a_1\le a_3\le a_5\le a_7$ ，每次两个位置 $+1$ 要求最终相等的问题是较为经典的。按照常规思路，若 $a_1$ 比较适合，可以只进行 $1,3/5/7$ 的操作来达到目的，设此时最终均为 $x$ ， $a_1+a_3+a_5+a_7=S$ ，则有 $x-a_1=3x-(S-a_1)$ ，所以 $x=\frac{1}{2}S-a_1$ ，根据题目条件知 $x$ 一定为整数。此时只要 $x\ge a_7$ ，就一定可以达到目的。

考虑 $x<a_7$ 的情况，此时是 $a_1+a_7<\frac{1}{2}S$ ，注意到进行 $3,5$ 操作时，只增加 $S$ 而对 $a_1+a_7$ 无影响，所以可以直接把 $a_5$ 加到 $a_7$ ，得到新的 $a_1,a3+(a_7-a_5),a_7,a_7$ ，这时 $x\ge a_7$ 一定成立，则一定有解，因此充分性成立。

神秘第四问#

不妨求一下操作次数最少的方案。

注意到：如果方案中不存在两个操作恰好互补，那么就无法通过删去一些方案使得操作后 $a_i$ 均相等，也就得到了最小方案。

发现证明时的构造已经非常优秀了，最后的调整是 $1,3,5,7$ 或 $2,4,6,8$ ，而前面的操作最佳状态就是 $1,3/5/7$ ，显然没有可以删去的过程。

不过调整 $S$ 的步骤中，可能出现 $3,5$ ，这与 $1,7$ 有互补的嫌疑。注意到只要 $a_7=x$ ，就不会进行 $1,7$ 操作，那么让 $a_3+a_5$ 恰好等于 $a_1+a_7$ ，这样 $x=\frac{1}{2}S-a_1=a_7$ ，于是只有 $1,3/5$ 以及 $3,5$ 还是没有重复。非常无敌。

而最终结果是：

默认 $a_1\le a_3\le a_5\le a_7$ ，记 $S_o=a_1+a_3+a_5+a_7,S_e=a_2+a_4+a_6+a_8$ 。

若 $a_1+a_7\le a_3+a_5$ ， $s_{\min}=\frac{1}{4}|S_o-S_e|+\left(\frac{1}{2}S_o-2a_1\right)$
若 $a_1+a_7>a_3+a_5$ ， $s_{\min}=\frac{1}{4}|S_o-S_e|+\frac{1}{2}(a_1+a_7-a_3-a_5)+(a_7-a_1)$