【学习笔记】KMP 相关算法

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KMP#

单模式串匹配，比较平凡所以不说了，比较有借鉴意义的每次拓展一位和 $nxt$ 数组能极大减少不合法的匹配，时间复杂度 $O(|s|+|t|)$ 。

引出一个定义，记满足 $s[1,i]=s[|s|-i+1,|s|]$ 的前缀为字符串 $s$ 的 $\mathrm{border}$ ，所有的 $\mathrm{border}$ 构成 $\mathrm{Border}(s)$ 集合。

失配树#

KMP 处理 $nxt$ 数组时是一个类似 $nxt_i\leftarrow j$ 的操作，可以看作连边，根节点是 $0$ ，一个前缀对应节点的全部祖先恰好是这个前缀的 $\mathrm{Border}$ 集合。那么求两个前缀的最长公共 $\mathrm{border}$ 就是树上 $\mathrm{LCA}$ ，可能需要分是否是祖先关系讨论一下。

KMP 自动机#

就是只有一个模式串版本的 AC 自动机，只要从 $nxt_i$ 构建转移指针就行，目测用处不大。

Z 函数#

又叫扩展 KMP。

算法思想#

定义 Z 函数 $z_i=\mathrm{lcp}(s,s[i,|s|])$ ，即后缀和原串的 $\mathrm{lcp}$ 。

考虑维护当前最右端的区间 $[l,r]$ ，扩展的方法类似 Manacher：

若 $i>r$ ，直接暴力拓展；
若 $i\le r$ ，那么 $s[1,r-l+1]=s[l,r]$ ，于是 $s[i-l+1,r-l+1]=s[i,r]$ ，那么 $z_i\ge \min(z_{i-l+1},r-i+1)$ ，设为初始值再暴力拓展即可。

复杂度是线性的，证明考虑暴力拓展非 $O(1)$ 次时 $r$ 必然增大。

例题#

CodeForces-432D Prefixes and suffixes *2000 #

$z_i=|s|-i+1$ 的就是 $\mathrm{border}$ ，查询出现次数就是 $z_i\ge l$ 的位置个数。

Periodicity Lemma#

定义 $p$ 是 $s$ 的一个周期当且仅当对于 $1\le i\le |s|-p$ ，有 $s_i=s_{i+p}$ 。感性理解就是周期就是一个字符串划分成若干相等的段，最后一段可以是这些段的一个前缀。

Weak Periodicity Lemma：若 $p,q$ 都是字符串 $s$ 的周期且 $p+q\le |s|$ ，则 $\gcd(p,q)$ 也是 $s$ 的周期。

直观来看 $p,q$ 导出 $\gcd(p,q)$ 是类似辗转相除的跳来跳去，存在一个问题：如果将字符串按照两个周期分别补充成无限长，得到的结果可能不相等，例如 $\texttt{abaababa}$ 如果按 $\texttt{abaab}$ 和 $\texttt{abaabab}$ 补充肯定是不相等的，那么跳来跳去就可能出错，所以有一个长度的限制。

弱周期引理的证明比较简单，考虑归纳，规定 $p\le q$ ，假设已经证明对于任意 $x<p,y<q$ 都是成立的，而 $p=1$ 时显然也成立。由于 $p+q\le |s|$ 且 $p\le q$ ，可以将 $1\le i\le |s|$ 划分成 $i\le |s|-q$ 和 $i>|s|-q$ 两部分。对于前者， $i+q$ 与 $i+q-p$ 都在 $[1,|s|]$ 范围内，于是 $s_i=s_{i+q-p}$ ；对于后者，实际考虑 $p\le |s|-q<i\le |s|-(q-p)$ ， $i-p$ 与 $i-p+q$ 都在范围内，于是 $s_i=s_{i-p+q}$ ， $q-p$ 就是 $s$ 的一个周期，而根据归纳 $\gcd(q-p,p)=\gcd(p,q)$ 也是 $s$ 的一个周期。

Periodicity Lemma：若 $p,q$ 都是字符串 $s$ 的周期且 $p+q-\gcd(p,q)\le |s|$ ，则 $\gcd(p,q)$ 也是 $s$ 的周期。

有一个生成函数证明，感觉很有趣。记 $P(x),Q(x)$ 分别为长度为 $p,q$ 的周期， $S_p(x),S_q(x)$ 分别为按照周期补充的无限长串，那么满足：

S_{p} (x) = \frac{P (x)}{1 - x^{p}} \equiv S (x) (\mod x^{| s |})

$S_p(x)=\dfrac{P(x)}{1-x^p}\equiv S(x)\pmod {x^{|s|}}$

S_{q} (x) = \frac{Q (x)}{1 - x^{q}} \equiv S (x) (\mod x^{| s |})

$S_q(x)=\dfrac{Q(x)}{1-x^q}\equiv S(x)\pmod {x^{|s|}}$

于是可以得到：

S_{p} (x) - S_{q} (x) = \frac{P (x)}{1 - x^{p}} - \frac{Q (x)}{1 - x^{q}} = \frac{1 - x^{gcd (p, q)}}{(1 - x^{p}) (1 - x^{q})} (\frac{P (x) (1 - x^{q})}{1 - x^{gcd (p, q)}} - \frac{Q (x) (1 - x^{p})}{1 - x^{gcd (p, q)}})

${S_p(x)-S_q(x)=\dfrac{P(x)}{1-x^p}-\dfrac{Q(x)}{1-x^q}=\dfrac{1-x^{\gcd(p,q)}}{(1-x^p)(1-x^q)}\left(\dfrac{P(x)(1-x^q)}{1-x^{\gcd(p,q)}}-\dfrac{Q(x)(1-x^p)}{1-x^{\gcd(p,q)}}\right)}$

把后面的东西记作 $F(x)$ ，观察可知 $\deg F(x)<p+q-\gcd(p,q)\le |s|$ ，而 $S_p(x)-S_q(x)\equiv 0\pmod {x^{|s|}}$ ，所以 $F(x)\equiv 0 \pmod{x^{|s|}}$ ，根据其度数知 $F(x)=0$ ，所以 $S_p(x)=S_q(x)$ ，不需要截取，所以后面就能按照辗转相除证明了。

Border Series#

内容#

主要是证明一个性质：一个字符串 $s$ 的 $\mathrm{Border}$ 可以划分为 $O(\log n)$ 个等差数列。

首先考虑任意一个 $\mathrm{border}$ $s[1,i]$ ，发现 $s$ 有长为 $|s|-i$ 的周期，这个画一画图就容易得到。

那么取出所有长度 $\ge \left\lceil\frac{|s|}{2}\right\rceil$ 的 $\mathrm{border}$ ，其中最长的一个就对应了 $s$ 的最小周期 $p$ ，发现取任意 $p$ 的倍数也能得到一个周期，现在需要证明这些周期中不含不是 $p$ 的倍数且夹在两个倍数之间的。考虑另一个周期 $q$ ，若 $p+q\le |s|$ ，即满足 Weak Periodicity Lemma，那么一定有 $p\mid q$ ，否则 $\gcd(p,q)<p$ ，那么 $p$ 就不是最小周期了。这里取出的长度为 $\ge \left\lceil\frac{|s|}{2}\right\rceil$ 的 $\mathrm{border}$ 对应的周期一定 $\le \left\lfloor\frac{|s|}{2}\right\rfloor$ ，因此二者之和一定满足 Weak Periodicity Lemma 的限制。

于是证明了所有长度 $\ge \left\lceil\frac{|s|}{2}\right\rceil$ 的 $\mathrm{border}$ 构成了一个公差为最小周期的等差数列，考虑找到剩下的 $\mathrm{border}$ 中最长的一个，将其作为整个串，继续这样处理，只需要 $O(\log n)$ 次就结束了。

之后不妨再来看看放在失配树是什么样子：就是把根到 $n$ 节点链划分成 $O(\log n)$ 条等差数列，同时如果失配树上有分叉，那么一定是某个等差数列的首项。

例题#

Luogu-P5829 失配树 #

考虑不用失配树做。

考虑当前节点 $x$ ，记 $d=x-nxt_x$ ，若 $2d\ge x$ ，则再往下减少 $\mathrm{border}$ 的长度就不符合长度大于二倍的要求了，所以 $x$ 就是链顶；否则取 $x\bmod d+d$ 就是链顶，每次选链顶编号大的跳上去。

Luogu-P4156 WC 2016 论战捆竹竿 #

相当于每次加上除去 $\mathrm{border}$ 的部分，是同余最短路问题。

降低复杂度需要从 Border Series 入手，得到 $O(\log n)$ 个三元组 $(a,d,l)$ ，表示可以增加长度为 $a+id$ 的字符串，其中 $i\in [0,l]$ 。

对每种等差数列依次考虑肯定是正确的，对三元组 $(a,d,l)$ 求模 $a$ 的同余最短路，转移会形成 $\gcd(a,d)$ 个环，可以对这些环分别考虑。其中转移前的最小值一定不会被转移，也不会有其他转移跨过这个最小值，可以从这个位置断开，之后转移只剩 $l$ 的限制，可以单调队列优化。

之后考虑如何把模 $a$ 的同余最短路转成模 $a'$ 的同余最短路，不妨看做多源，初始值 $f_i\rightarrow g_{f_i\bmod a'}$ ，同样也形成了 $\gcd(a,a')$ 个环，选最小值断开，此时转移没有任何限制，直接前缀 $\min$ 优化就行了。

参考资料#

作者：SoyTony

出处：https://www.cnblogs.com/SoyTony/p/17955245/Learning_Notes_about_KMP_Related_Algorithms

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posted @ 2024-01-10 09:58 SoyTony 阅读(126) 评论(3) 编辑收藏举报

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【学习笔记】KMP 相关算法

KMP#

失配树#

KMP 自动机#

Z 函数#

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例题#

CodeForces-432D Prefixes and suffixes *2000 #

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