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某些看了但不想写代码的题

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最新版会在这里更新。

HDU.5977.Garden of Eden(点分治)

\(Description\)
给定一棵\(n\)个点的树，每个点有一个颜色，颜色一共有\(k\)种。求有多少条路径包含\(k\)种颜色。
\(n\leq 10^5,\quad k\leq 10\)。

\(Solution\)
点分治。状压颜色。记\(cnt[s]\)表示状态为\(s\)的路径个数。
如果当前点状态为\(s\)，那么就可以从\(s\)的补集以及\(s\)的补集的超集更新Ans。
但是这样复杂度当然爆炸。所以直接令\(cnt[s]\)表示状态为\(s\)及\(s\)的超集的路径数。
每次合并一棵子树的状态时，枚举子树的状态\(s_i\)，然后对于\(s_i\)的所有子集\(s'\)，\(cnt[s']\)++。
代码见：https://www.cnblogs.com/WABoss/p/6036216.html。
还有用FWT做的社会人：https://www.cnblogs.com/Menhera/p/9514412.html， http://www.cnblogs.com/sclbgw7/p/9508235.html。

hihoCoder.1496.寻找最大值(高维前缀和)

\(Description\)
给定\(n\)个数\(a_i\)，你需要找到两个数\(a_i,a_j\)，使得\(a_i*a_j*(a_i\&a_j)\)最大。输出这个最大值。
\(n\leq 10^5,\quad 0\leq a_i<2^{20}\)。

\(Solution\)
考虑枚举\(t=a_i\&a_j\)。那我们要对每个\(t\)求，满足\(a_i\&a_j=t\)的\(a_i,a_j\)中，乘积最大的一对。
但是还是不好求啊。这个条件其实可以削弱，即我们对每个\(t\)，求\(t\)为\(a_i\&a_j\)的子集，乘积最大的一对\(a_i,a_j\)。显然不会丢失最优解。
\(t\)为\(a_i\&a_j\)的子集，即\(t\)同时为\(a_i,a_j\)的子集。那么枚举\(t\)的超集，求最大的两个数做\(a_i,a_j\)就可以了。
可以用高维前缀和求，也可以对每个\(a_i\)直接枚举子集。是复杂度有差别吧？前者是\(O(2^kk)\)，后者是\(O(n\log a_i)\)。

北京八十中集训 12.20 例一.Triple(思路 计数)

\(Description\)

\(Solution\)
需要\(O(n^2)\)解决。可以令\(Two[v]\)表示\(a_j+a_k=v,\ i-D<j\leq k<i\)的二元组\((j,k)\)的个数，\(One[v]\)表示\(a_j=v,\ i-D<j<i\)的\(j\)的个数，那么\(Ans_i=\sum_jOne[a_i-a_j]+Two[a_i-2a_j]+[3a_j=a_i]\)？
显然会有重复。每个\(One\)会被计算三次，所以给后两项带一个权值，让每个\(Triple\)恰好被计算三次，就可以直接去重了。

北京八十中集训 12.20 例二.Manhattan(CDQ分治)

\(Description\)

\(Solution\)

Codeforces.150E.Freezing with Style(点分治 二分答案 单调队列)

\(Description\)

\(Solution\)
二分答案\(mid\)，然后点分治（当然点分治过程中二分答案更好些）。
对于以每个点为根的子树，求是否存在边数\(len\)在\([L,R]\)之间且至少存在\(\frac{len}{2}\)条边权\(\geq mid\)的路径。
把边权\(\geq mid\)的边的权值设为\(1\)，\(<mid\)的设为\(-1\)，对于每种边数只需维护权值最大的路径即可。显然可以单调队列维护。但注意要先将子树按最大深度从小到大排序以保证复杂度。
复杂度\(O(n\log^2n)\)。

HDU.5381.The sum of gcd(线段树/莫队 RMQ)

\(Description\)
给定长为\(n\)的序列\(a_i\)。\(q\)次询问，每次给定\(l,r\)，求\(\sum_{i=l}^r\sum_{j=i}^r\gcd(a_i,a_{i+1},...,a_j)\)。
\(n,q\leq10^4,\ a_i\leq10^9\)。

\(Solution\)
莫队 RMQ：
把要求和的区间画出来。每次移动区间左右端点的时候，观察改变的会有什么。
假如原先区间是\([4,6]\)，现在左端点移动到\(3\)，当前答案会加上 \(3,3\;\;3,4\;\;3,5\;\;3,6\)的\(\gcd\)。也就是固定\(l\)，往右求\(\gcd\)一直到\(r\)。
因为固定一个左端点\(l\)，\(a[l...n]\)这个后缀中的\(\gcd\)只有\(\log\)种，所以可以枚举\(g=\gcd\)，假设\(g\)出现在区间\([l,\ r']\)，然后跳到\(r'\)那里去，再从\(r'\)跳到下一个\(\gcd\)的位置，直到到达\(r\)为止。
这个过程中可以累加答案，复杂度是\(\log\)的
从每个位置开始的第几个\(\gcd\)出现在哪，还要RMQ+二分预处理一下。总复杂度\(O(n\log^2n+n\sqrt{n}\log n)\)。
当然能想起Magic GCD这道题，预处理可以用单调栈，虽然复杂度还是\(n\log^2n\)的但显然常数小许多。
线段树：
同样把要求和的区间画出来，就很明显了。
比如设当前区间为\([3,6]\)（左端点为\(3\)右端点为\(6\)），要求的区间有：
\(3,3\;\;3,4\;\;3,5\;\;3,6\\\;\;\;\;\;\;\;4,4\;\;4,5\;\;4,6\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ \ \ \,5,5\;\;5,6\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ \ \ \ \ 6,6\\\)
以列为下标（上面分别是\(3,4,5,6\)），当询问左端点\(l=3\)，右端点为\(r\)时，答案就是区间\([3,r]\)的和。
而每次向左移动\(l\)，会在上面增加一行。而以\(a[l...n]\)中\(\gcd\)只有\(\log\)种，可以暴力算出这\(\log\)种\(\gcd\)以及它们对应出现的区间（还是同Magic GCD这道题），然后就可以直接区间加。
所以就是，把询问离线，按左端点从右往左处理。
复杂度\(O(n\log^2n)\)。

Codeforces.17E.Palisection(Manacher/回文树)

\(Description\)
给定一个字符串\(s\)。求\(s\)有多少对回文子串，满足这两对回文子串在\(s\)中的位置有交集。
\(|s|\leq2\times10^6\)。

\(Solution\)
记回文子串总数为\(sum\)，那\(Ans=C_{sum}^2-\text{没有交集的回文子串对数}\)。
而没有交集的回文子串对数，就是\(\sum_{i=1}^{n-1}\text{以i结尾的回文串数}*\text{i后边的回文串数}\)。
以\(i\)结尾的回文串数\(cnt_i\)可以直接回文树，或是Manacher+差分求。\(i\)后边的回文串数就是\(\sum_{j=i+1}^ncnt'_j\)。把串反过来求一遍\(cnt_i\)的后缀和就可以了。
因为\(|s|\)是\(2e6\)，回文树要用边表存转移。

牛客练习赛38 E.出题人的数组(贪心)

\(Description\)
给定两个长为\(n,m\)的序列\(A_i,B_i\)。你需要把两个序列拼成长\(n+m\)的序列\(C_i\)，要求原本同在\(A_i\)或\(B_i\)序列中的数在\(C_i\)中的相对顺序不变。求最小的\(\sum\limits_{i=1}^{n+m}i*C_i\)。
\(n,m\leq10^5\)。

\(Solution\)
先把整个\(A\)序列放在\(B\)前面。然后我们每次要找\(B\)的一个前缀扔到\(A\)里面去，且位置不能超过上一次放的那个前缀的位置。
假设选的\(B\)的前缀长度为\(x\)，和为\(s_1\)，放的位置离\(A\)的末尾距离为\(y\)，这一段和为\(s_2\)。
那么当\(y*s_1>x*s_2\)时，这么做会优。移一下项就是\(B\)这段前缀的平均值更大。
而选的这段\(B\)的前缀应该是平均值尽量大的。
同时\(C\)序列最后是一段\(A\)+一段\(B\)+一段\(A\)+一段\(B\)...要让这些段的平均值递减。
所以我们就先把\(A,B\)分成一些平均值递减的段，最后按平均值大小归并就可以了。。

牛客OI周赛7 提高组.C.小睿睿的方案(线段树)

\(Description\)
给定一棵树及\(m\)条路径。求有多少条路径满足不完全包含这\(m\)条路径中的任意一条。
\(n,m\leq10^5\)。

\(Solution\)
考虑求不合法的路径数。发现这些路径都是一个点在一段DFS序连续的区间中，另一个点在另一段DFS序连续的区间中。扫描线+矩阵求交即可。
复杂度\(O(n\log n)\)。

CF.464E.The Classic Problem(可持久化线段树 Hash)

\(Description\)
给定一张\(n\)个点\(m\)条边的无向图，边权都是形如\(2^{x_i}\)的形式（\(0\leq x_i\leq 10^5\)）。给定\(s,t\)，求\(s\)到\(t\)的最短路。
\(n,m\leq10^5\)。

\(Solution\)
考虑如何改进\(Dijkstra\)使得能做这道题。我们把\(dis\)数组用线段树存成\(2^{a_1}+2^{a_2}...\)的形式。
判断\(dis\)时，可以像字符串\(Hash\)一样，从高到低位在线段树上二分，找到第一个不同的位置，判断上面的大小关系。\(Hash\)可以直接用题目给的\(seed=2,\ mod=10^9+7\)，当然最好还是自己再写个。
每次枚举一条边修改\(dis\)时，一个暴力的想法是，每次只改一位，就可持久化一下，在对应位置\(+1\)，如果产生进位就暴力再在下一个位置\(+1\)。
这样复杂度是不对的，可以卡成\(O(nm\log w)\)（然而网上都是这种办法...出题人竟然数据造水了，ssfd）。
官方题解的做法是，初始建两棵全\(0\)和全\(1\)的线段树，进位时可以直接替换节点，这样复杂度就是真的\(O((n+m)\log w)\)了。
事实上那种错误的做法有人在Tutorial的comments里提到过，他也意识到是错的了。

CF.1104D.Game with modulo(交互 二分)

\(Description\)
要求在\(60\)次询问内猜出一个数\(a\ (1\leq a\leq10^9)\)。每次你可以询问\((x,y)\ (0\leq x,y\leq10^9)\)，交互库会返回以下两个字符之一：

  1. x，如果\((x\bmod a)\geq(y\bmod a)\)。
  2. y，如果\((x\bmod a)<(y\bmod a)\)

\(Solution\)
考虑询问\((x,2x)\)（\(x\bmod a\)和\(2x\bmod a\)），如果\(2x<a\)，显然结果是y；\(x>a\)，不好考虑；\(x=a\)，结果是x；\(x<a\leq2x\)，结果是x。（为什么此时一定有\(x\bmod a<2x\bmod a\)呢...令\(2x=a+b=x+x\)，因为\(x<a\)，所以\(x>b\)。。）。
综上，如果我们依次询问\((0,1),(1,2),...,(2^{29},2^{30})\)，我们可以找到一个\((2^k,2^{k+1})\)，满足\(2^k<a\leq2^{k+1}\)。这需要\(30\)次二分（最后一次不需要）。记这两个边界为\(l,r\)，即\(l<a\leq r\)。
考虑在\([l+1,r]\)中二分答案\(x\)。如果\(x<a\)，显然有\(l\bmod a<x\bmod a\)；如果\(x\geq a\)，同样考虑拿\(l\)询问，有\(l\bmod a>x\bmod a\)（还是令\(x=a+b\)，如果\(b\geq l\)，那么\(x>r\)显然不对）。
这样需要二分\(29\)次，那么就OK啦。
为啥都写的那么简洁啊...还是我太菜...

CF.1039D.You Are Given a Tree(根号分治)

\(Description\)
给定一棵\(n\)个点的树。求最多可以选出多少条不相交的路径，满足这些路径含有\(k\)个点。对\(k\in[1,n]\)输出答案。
\(n\leq10^5\)。

\(Solution\)
暴力是\(O(n^2)\)的，即对于每个\(k\)，\(O(n)\ DFS\)一遍，能合并出一条\(k\)个点的路径就合并，否则向上。这样贪心显然是对的（\(NOIP\)...）。
注意到答案是随\(k\)增加递减的，且\(k>\sqrt n\)时，答案的取值只有\([0,\sqrt n-1]\)这\(\sqrt n\)种，我们可以二分每个值是\(k\)的哪个区间的答案。
需要做\(\sqrt n\)次，每次复杂度\(O(n\log n)\)，总复杂度是\(O(n\sqrt n\log n)\)的。
\(k\leq\sqrt n\)时，可以对每个\(k\)暴力，复杂度\(O(n\sqrt n)\)。
发现两部分的复杂度并不均衡，\(k\leq T\)时复杂度是\(O(Tn)\)，另一部分是\(O(\frac{n^2\log n}{T})\)，所以取\(T=\sqrt{n\log n}\)时最优。

官方题解里有\(O(n\log^2n)\)的做法...（据作者本人说）很不好写...

SRM577 Board Painting(最小割)

具体看这里叭，先不细整理惹。https://www.cnblogs.com/jefflyy/p/9679504.html
初始ans=总点数，每有一对点相邻，就可以减少1的花费，这样先算出一个答案。
然后把不合法的去掉。网络流每跑出1的流量，就表示有一对相邻的数不合法。这就是求割。要最小化去掉相邻点对的数量，使得方案合法。

SRM558 Surrounding Game(最小割)

神啊qwq。https://www.cnblogs.com/Blog-of-Eden/p/7783406.html

SRM590 Fox And City(最小割)

类似切糕的拆点qwq。https://www.cnblogs.com/zbtrs/p/8608842.html

posted @ 2018-12-06 10:23  SovietPower  阅读(1663)  评论(0)  编辑  收藏  举报