图论 笔记
图论 笔记
有些东西不知道有什么用...但既然dls讲了就记记吧。很多东西来自国庆正睿 dls课件。
把以前的写的合并到一篇了。
也可以看这儿。
度数序列
对于无向图，\(d_1,d_2,...,d_n\)为每个点的度数。
有\(d_1+d_2+...+d_n=2e\)（每条边被计算两次）。
有偶数个度数为奇数的点。
Havel–Hakimi算法
给定一个由有限多个非负整数组成的度数序列，是否存在一个简单图使得其度数序列恰为这个序列。
令\(S=(d_1,d_2,...,d_n)\)为有限多个非负整数组成的非递增序列。
\(S\)可简单图化当且仅当有穷序列\(S’=(d_2-1,d_3-1,...,d_{d_1+1}-1,d_{d_1+2},...,d_n)\)只含有非负整数且是可简单图化的。
序列\(S\)可简单图化是指存在一个无向图（无重边无自环），使得其度数序列恰为\(S\)。
（这个其实就是很显然的东西。。主要是一个定义）
Erdős–Gallai定理
令\(S=(d_1,d_2,...,d_n)\)为有限多个非负整数组成的非递增序列。
\(S\)可简单图化当且仅当这些数字的和为偶数，且$$\sum_{i=1}^kd_i\leq k(k-1)+\sum_{i=k+1}^n\min(d_i,k)$$
对于任意\(1\leq k\leq n\)都成立。
也不难理解。对前\(k\)个点分配度数，除了两两能连\(\frac{k(k-1)}{2}\)条边外，剩下的度数由后面点的度数补。
因为\(d_i\)非递增，从小到大枚举\(k\)，维护\(d_i\)后缀与\(k\)取\(\min\)的和（\(d_i,k\)都是单调的，维护从哪开始\(\min(d_i,k)\)的结果是\(d_i\)）。就可以\(O(n)\)判断了。
例题：Good Bye 2018 E（竟然真的遇到了），NEERC2013 K.Kids in a Friendly Class。
欧拉路与欧拉回路
给定一张无向/有向图，求一条经过所有边恰好一次的回路。
有解当且仅当所有点 度数为偶数(无向)/入度等于出度(有向)。
任选一点开始dfs，每条边只经过一次。回溯时将回溯的边加入队列，最后队列的逆序就是答案。
时间复杂度 \(O(m)\).
欧拉路径也可以用一样的方法求出（找度数为奇数的点进行DFS）（下面要求欧拉路起点终点不相同）。
欧拉回路：有向图：所有点的出度入度都相等；从任意一点都可实现。
无向图：所有点度数都为偶数。
欧拉路：有向图：有恰好两个点入度出度不相等且差为一，即起点终点：起点入度小于出度，终点入度大于出度。
无向图：有恰好两个点度数为奇数。
注：必须为连通图（用并查集判断）。
两笔画问题：
有解当且仅当入度为奇数的点不超过四个。
将其中两个点加一条边后求欧拉路径，然后在这条边处断开成两条欧拉路即可。
时间复杂度 \(O(m)\).
题目
Prufer序列
这个很全，可以看这儿。
Defination：
Prufer序列是一种无根树的编码表示。
对于一棵\(n\)个点的无根树，对应唯一一串长度为\(n-2\)的\(Prufer\)序列。
无根树转\(Prufer\)序列
定义无根树中度数为\(1\)的节点是叶子节点，每次找到编号最小的叶节点删除，在序列中添加与之相邻的点。如此重复直到剩下最后两个节点。
上图对应无根树的\(Prufer\)序列为\(3,5,1,3\)。
\(Prufer\)序列转有根树
给定点集\(G={1,2,\ldots,n}\)，\(Prufer\)序列\([a_1,a_2,\ldots,a_{n-2}]\)。
每次取出\(Prufer\)序列中的第一个元素\(x_i\)，在\(G\)中找在当前\(Prufer\)序列中没有出现的第一个元素\(y_i\)，在\(x_i\)和\(y_i\)间连一条边；将\(x_i\)从\(Prufer\)序列中删除，\(y_i\)从\(G\)中删除。
最后\(G\)中还剩下\(2\)个元素，在这\(2\)个元素间连一条边。
生成树计数
- Cayley定理：完全图的生成树个数为\(n^{n-2}\)。
- 如果每个点的度数为\(d_i\)，那么生成树个数为\(\frac{(n-2)!}{(d_1-1)!(d_2-1)!...(d_n-1)!}\)。
- \(n\)个连通块大小分别为\(a_i\)，那么添加一些边将这些连通块连通的生成树个数为\(a_1\times a_2\times...\times a_n\times(a_1+a_2+...+a_n)^{n-2}\)。
- \(n\)个点指定\(k\)个点在不同的树中，形成\(k\)的森林的方案数为\(k\times n^{n-k-1}\)。
题目
题集。
Matrix-Tree定理
无向图生成树计数：令\(G=D-A\)（基尔霍夫矩阵=度数矩阵-边矩阵），然后去除\(G\)的任意一行一列得到\(G’\)，\(G’\)的行列式即生成树个数。
有向图生成树计数：与无向图不同的是，\(D\)矩阵为入度/出度矩阵分别对应外向树/内向树。且删掉第\(i\)行第\(i\)列表示以\(i\)为根节点的生成树个数。
题目
题集。
最小生成树 Borůvka算法
一开始每个连通分量是一个点本身。
每轮枚举所有属于不同连通分量的边，每个连通分量选择和其他连通分量相连的最小的边，然后合并。
每轮连通块个数至少减半，所以最多进行\(\log V\)轮。时间复杂度\(O(E\log V)\)。
具体实现直接用并查集即可。代码可以看这里。
题目
一般用来做边权与点权相关，还是个完全图，求MST的题？
- 有\(n\)个点的完全图，每个点的权值为\(a_i\)，两个点之间的边权为\((a_i+a_j)\ mod\ M\)。求这张图的最小生成树。
\(N\leq10^5,0\leq M,a_i\leq10^9\)
具体怎么做忘了。。你们结合下面的题脑补一下。 - CF888G。
有一张\(n\)个点的完全图，每个点的权值为\(a_i\)，两个点之间的边权为\(a_i\ \text{xor}\ a_j\)。求该图的最小生成树。
\(n\leq2*10^5,0\leq ai<2^{30}\)。
最小瓶颈生成树
使得生成树树上最大边权值最小。
- 方法1：最小生成树一定是最小瓶颈生成树。
- 方法2：二分答案，看点是否连通。
- 方法3：
类比找第k大值的方法(nth_element)，首先随机一个边权\(w\)。然后将不超过这个边权的边加入，遍历这张图。
如果图连通，那么瓶颈不超过\(w\)，于是只需考虑边权不超过\(w\)的边；否则将这些连通点缩起来，考虑边权大于\(w\)的边。
每次将问题的规模缩小至一半。期望时间复杂度\(T(m)=T(\frac m2)+O(m)=O(m)\)。
求树上路径边权的最大值
- 方法1：倍增，\(O(n\log n)+O(\log n)\)。
- 方法2：树链剖分，然后在DFS序上建ST表/线段树，\(O(n\log n)+O(\log n)/O(\log^2n)\)。
- 方法3：用 LCT 代替树链剖分+线段树，\(O(n\log n)+O(\log n)\)（\(\text{makeRoot(x), access(y), splay(y)}\)!）。
- 方法4：Kruskal重构树，按边权从小到大建新树，然后等价于求两点在新树上LCA的value值，\(O(n\log n)+O(1)\)。
\(O(1)\)求LCA：在欧拉序上建ST表，然后RMQ。
好像只在动态点分治里用过？幻想乡战略游戏，Hide捉迷藏
单源最短路(SSSP)
\(Dijkstra\)（贪心）或者\(Bellman Ford\)（动态规划）。
时间复杂度\(O(m\log n)\)或者\(O(nm)\)。
一些变种
边权是\(0/1\)：双端队列，如果是\(0\)在头部插入，否则在尾部插入。
最长路径不超过\(W\), 正权图：使用\(0...W\)的桶+链表维护这些点（代替堆），时间复杂度\(O(m+W)\)。
关于判负环
复杂度\(O(nm)\)。代码实现可以记录最短路树上的深度来判环，而不是入队次数，这样会有优化。
if(dis[v]>dis[u]+w)
dis[v]=dis[u]+w
dep[v]=dep[u]+1
if(dep[v]>n) return;
差分约束
大体过程：http://www.cppblog.com/menjitianya/archive/2015/11/19/212292.html
考虑最短路中的松弛操作：if(dis[v]>dis[x]+w) dis[v]=dis[x]+w，也就是强制使得\(dis[v]\)满足\(dis[v]\leq dis[x]+w\Rightarrow dis[v]-dis[x]\leq w\)。
所以对于\(x_j-x_i\leq w\)的限制，可以连一条边\((i\to j,w)\)。这样求\(x_n-x_0\)的最大值，就是求\(0\to n\)的最短路。
如果限制是\(x_j-x_i\geq w\)，同理连边\((i\to j,w)\)。\(x_n-x_0\)的最小值就是求\(0\to n\)的最长路。
如果两种限制都有，就把\(\geq\)变成\(\leq\)。
解的存在性：
比如求\(x_n-x_0\)的最大值：若图中存在负环，则\(0\to n\)的最短路无穷小，则不存在最大值（无解）。
若\(0\)和\(n\)就不在同一连通块，则\(0\to n\)的最短路无穷大，最大值无穷大（或者存在无数多解）。
否则有解。
PS：
\(SPFA\)可以根据入队次数判负环，也可以据此判正环。虽然效率都不高就是了。
\(Dijkstra\)不能求最长路（本质是贪心）。
如何判断解唯一：
对原图求一遍最短路。将原图取反，边权取反，求一遍最长路。
一个标号对应的是能取到的最小值，一个是最大值。
如果相同则解唯一。（没什么用）
题目
题集。
多源最短路(APSP)
\(Floyd\)：\(O(n^3)\)
\(Johnson\)算法（可用于负权图）：\(O(nm\log n)\)
\(Johnson\)算法
原理：首先给图中每个点一个权值\(h(u)\), 把每条边的边权\(w(u,v)\)改成\(w(u,v)+h(u)-h(v)\)。
对于\(s\to t\)的一条路径\(p\)，权值为
=
所以这么做不会改变最短路（也可以看这儿）
实现：第一次SPFA预处理\(1\)到每个点的距离\(dis\)，记\(h(v)=dis(v)\)。然后把边权\(w(u,v)\)改为\(w(u,v)+h(u)-h(v)\)。
其中\(h(u)\)为给每个点设定的权值，\(h(u)=dis[u]\)。
由不等式可以得到\(dis(u)+w(u,v)\geq dis(v)\)，也就是改完之后所有边权非负。
之后可以每个点用\(Dijkstra\)跑。就是\(O(nm\log n)\)啦。
这样也可以实现\(Dijkstra\)跑费用流。
\(Floyd\)
\(Floyd\)也可以判负环：如果最后存在\(dis[x][x]<0\)，则存在负环。
半径 直径 (正权图)
（后面就直接抄dls课件了QAQ）
- \(u\)的偏心距 \(ecc(u)=\max\{dis(u,v)\}\)
- 直径 \(d=\max\{ecc(u)\}\)
- 半径 \(r=\min\{ecc(u)\}\ (d\neq2r)\)
- 中心 \(arg\ \min\{ecc(u)\}\)（要求定义在点上）
- 绝对中心（可以定义在边上）
绝对中心
相关：求最小直径生成树（差不多）。
实现：固定一条\((u,v)\)，考虑上面的点\(p\)的偏心距。
假设第三个点是\(w\), \(dis(p,u)=x\)。
那么对应的折线为\(\min\{x+dis(u,w),\ w(u,v)-x+dis(v,w)\}\)。
那么偏心距为\(n\)条折线的最大值形成的折线。
按左端点排序维护一下。时间复杂度\(O(nm\log n)\)
最小直径生成树
即绝对中心的最短路树。
如何证明？
注意一棵树\(T\)的直径为半径的两倍(对绝对中心来说)。如果最小直径生成树\(T’\)不包含绝对中心，那么取\(T’\)的绝对中心\(v\)，显然矛盾。
拓扑排序
每次去掉图中入度为\(0\)的点。
时间复杂度\(O(n+m)\)。
如果最后不为空集，那么这个图不为DAG。（否则每个点入度不为0，即每个点可以选择一个前趋，沿着前趋走根据抽屉原理一定能找到相同点，也就是一个环。）
按照反图DFS，出栈序列就是一个合法的拓扑序列。
scc缩点顺序也是一个合法拓扑序。
求字典序最小的拓扑序
每个点有不同的标号，要使得拓扑序最小。
将拓扑排序的队列改成优先队列即可。
最小拓扑序的一个变种
使得最后的拓扑序中1的位置尽量靠前，如果相同比较2的位置，依次类推。
首先考虑如何求1最早出现的位置，可以将原图反向，然后每次弹除了1之外的元素，直到队列只剩下1为止。
这是反图中1的最晚的出现的位置，也就是原图中最早的。
根据是否在队列里，这个图被分成两部分，在对应的图中用同样的方法处理2，依次类推。
容易发现每次找尽量大的元素出队，能完成上述的过程。
所以等价于反图最大字典序。
题目
题集。
二分图匹配
Hall's marriage theorem（霍尔定理）
对于一个二分图\(G=(X,Y,E)\)，记\(S\)为\(X\)的一个子集，\(N(S)\)为所有\(S\)中所有点的相邻点的并集。
一个图有完备匹配当且仅当\(X\)的所有子集\(S\)都有\(|S|\leq|N(S)|\)。
对一般图的推广:
推论: 每个正则二分图都有完备匹配。
Kőnig's theorem
- 最小点覆盖=最大匹配 (与最大流最小割定理等价)
- 最大独立集=点数-最大匹配 (独立集为点覆盖的补集)
- 最小边覆盖=最大独立集 (独立集中每个点需要一条边去覆盖)
DAG最小路径覆盖
- 覆盖所有的边：每条边下界设为1, 然后求最小流。
- 覆盖所有的点：建立二分图，对于\(u\to v\)的边，看做二分图中的\((u,v’)\)，然后答案为点数-最大匹配。
- \(Dilworth\)定理: 最大反链=最小链覆盖；最短的最长链=最小反链划分数-1（？存疑。见BZOJ4160）（当然这个不应该只放在二分图部分的）
题目
题集。
连通分量
强连通分量
\(Tarjan\)。
将一个图的所有强联通分量缩起来会得到一个DAG。
双联通分量
- 点连通度: 最小的点集使得删去之后图不连通
- 边连通度: 最小的边集使得删去之后图不连通
- 如果一个图的点连通度大于1，那么是点双连通的，边连通同理。
- 双联通分量为图中的极大双联通子图。
割点和桥
考虑DFS树，每条非树边对应着一个点到祖先的路径。对于一条非树边只要把对应的边打上标记即可。
比如对于\((u,v)\)这条非树边，只要在\(u\)点打上\(+1\)的标记，\(v\)点打上\(-1\)的标记。
\(x\)到\(fa[x]\)的树边的覆盖次数为子树内所有标记的和。
割点同理（注意特判根节点和叶节点）。
（差分是离线的，没看懂下面在线的做法）
题目
题集。
2-SAT
一堆变量的二元限制。
问是否存在合法的赋值。
题目
曼哈顿距离与切比雪夫距离
将原坐标系每个点的坐标\((x,y)\)变为\((x+y,x-y)\)，则原坐标系中的曼哈顿距离等于新坐标系中的切比雪夫距离。
反过来，将原坐标系每个点的坐标\((x,y)\)变为\((\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2})\)，则原坐标系中的切比雪夫距离等于新坐标系中的曼哈顿距离。
例题：BZOJ3170 松鼠聚会。
很久以前的奇怪但现在依旧成立的签名
attack is our red sun $$\color{red}{\boxed{\color{red}{attack\ is\ our\ red\ sun}}}$$ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
