五校联考R1 Day1T3 平面图planar(递推 矩阵快速幂)

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我们可以把棱柱拆成有\(n\)条高的矩形，尝试递推。
在计算的过程中，第\(i\)列(\(i\neq n\))只与\(i-1\)列有关，称\(i-1\)列的上面/下面为左上/左下，第\(i\)列的上面/下面为右上/右下。
我们可以发现，右上可选的颜色数与左上和右下是否同色有关，右下同理，那就记\(f[i][0/1][0/1]\)表示左上与右下是否同色，左下与右上是否同色。
但是第\(n\)列和第\(1\)列不能同色，最后怎么算答案？
不知道第\(n\)列状态算不了，所以我们还要记第\(i\)列的上/下是否与第\(1\)列的上&下同色。称\(1\)列的上面/下面为左上/左下，我们发现这样只记与第\(1\)列的情况就可以知道第\(i-1\)列怎么转移到第i列了(这谁发现了。。)。
那么 \(f[i][0/1/2][0/1/2]\) 表示到第\(i\)列，右上的颜色 与左上、左下都不相同/与左上相同/与左下相同；右下的颜色 与左上、左下都不相同/与左上相同/与左下相同 的方案数。
最后的答案就是\(\sum f[n][j\neq 1][k\neq 2]\)(就是\(f[n+1][1][2]\))。可以递推啦。
改成矩阵快速幂就可以AC了。这个矩阵还算好推。
有两组状态是对称的，可以把状态压成5*5？不过没什么用。

转移好恶心啊。

65分递推：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define mod (1000000007)
typedef long long LL;
const int N=1e6+5;

LL n,m,f[N][3][3];

inline LL FP(LL x,LL k)
{
	LL t=1; //x%=mod;
	for(; k; k>>=1,x=x*x%mod)
		if(k&1) t=t*x%mod;
	return t;
}

int main()
{
	freopen("planar.in","r",stdin);
	freopen("planar.out","w",stdout);

	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	if(m==2) return putchar(n&1?'0':'2'),0;
	f[1][1][2]=m*(m-1)%mod;
	LL m3=(m-3)*(m-3)%mod, m2=(m-2)*(m-2)%mod, m23=(m-2)*(m-3)%mod, m34=(m3-m+4+mod)%mod;
	for(int i=2; i<=n; ++i)
	{//LONG_LONG_MAX=9e18 > 4e9*1e9
//		LL (*pre)[3]=f[i-1];//慢了smg 
		f[i][0][0]=(f[i-1][0][0]*m34%mod+
					(f[i-1][0][1]+f[i-1][0][2]+f[i-1][1][0]+f[i-1][2][0])*m3%mod+
					(f[i-1][1][2]+f[i-1][2][1])*m23%mod)%mod;

		f[i][0][1]=((f[i-1][0][0]+f[i-1][0][2])*(m-3)%mod+
					(f[i-1][1][0]+f[i-1][2][0]+f[i-1][1][2])*(m-2)%mod)%mod;
		f[i][1][0]=((f[i-1][0][0]+f[i-1][2][0])*(m-3)%mod+
					(f[i-1][0][1]+f[i-1][0][2]+f[i-1][2][1])*(m-2)%mod)%mod;

		f[i][0][2]=((f[i-1][0][0]+f[i-1][0][1])*(m-3)%mod+
					(f[i-1][1][0]+f[i-1][2][0]+f[i-1][2][1])*(m-2)%mod)%mod;
		f[i][2][0]=((f[i-1][0][0]+f[i-1][1][0])*(m-3)%mod+
					(f[i-1][0][1]+f[i-1][0][2]+f[i-1][1][2])*(m-2)%mod)%mod;

		f[i][1][2]=(f[i-1][0][0]+f[i-1][0][1]+f[i-1][2][0]+f[i-1][2][1])%mod;
		f[i][2][1]=(f[i-1][0][0]+f[i-1][0][2]+f[i-1][1][0]+f[i-1][1][2])%mod;
	}
	printf("%lld\n",(f[n][0][0]+f[n][0][1]+f[n][2][0]+f[n][2][1])%mod);

	return 0;
}

100 矩阵快速幂：

//O(49)推矩阵好恶心啊。
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define mod (1000000007)
typedef long long LL;
const int N=1e6+5;

struct Matrix
{
	LL a[7][7];
	Matrix operator *(const Matrix &x)
	{
		Matrix res;
		for(int i=0; i<7; ++i)
			for(int j=0; j<7; ++j)
			{
				LL tmp=0;
				for(int k=0; k<7; ++k)
					tmp+=a[i][k]*x.a[k][j]%mod;
				res.a[i][j]=tmp%mod;
			}
		return res;
	}
}A;

inline Matrix FP(Matrix x,LL k)
{
	Matrix t=x;
	for(--k; k; k>>=1,x=x*x)
		if(k&1) t=t*x;
	return t;
}

int main()
{//[(7*7)^n]*(7*1) 正好转移n次得到f[n+1]。
	freopen("planar.in","r",stdin);
	freopen("planar.out","w",stdout);

	LL n,m; scanf("%lld%lld",&n,&m);
	if(m==2) return putchar(n&1?'0':'2'),0;
/*
0: (0,0)
1: (0,1)
2: (0,2)
3: (1,0)
4: (1,2)
5: (2,0)
6: (2,1)
*/
	if(m>=4) A.a[0][0]=((m-3)*(m-3)%mod-(m-4)+mod)%mod;
	A.a[0][1]=A.a[0][2]=A.a[0][3]=A.a[0][5]=(m-3)*(m-3)%mod;
	A.a[0][4]=A.a[0][6]=(m-2)*(m-3)%mod;
	A.a[1][0]=A.a[1][2]=A.a[2][0]=A.a[2][1]=A.a[3][0]=A.a[3][5]=A.a[5][0]=A.a[5][3]=m-3;
	A.a[1][3]=A.a[1][4]=A.a[1][5]=A.a[2][3]=A.a[2][5]=A.a[2][6]=A.a[3][1]=A.a[3][2]=A.a[3][6]=A.a[5][1]=A.a[5][2]=A.a[5][4]=m-2;
	A.a[4][0]=A.a[4][1]=A.a[4][5]=A.a[4][6]=A.a[6][0]=A.a[6][2]=A.a[6][3]=A.a[6][4]=1;
	A=FP(A,n);
	printf("%lld\n",A.a[4][4]*m%mod*(m-1)%mod);//f[n+1][1][2] = (A^n)[4][j] * Mat={0,0,0,0,m(m-1),0,0}

//	f[1][1][2]=m*(m-1)%mod;
//	LL m3=(m-3)*(m-3)%mod, m2=(m-2)*(m-2)%mod, m23=(m-2)*(m-3)%mod, m34=(m3-m+4+mod)%mod;
//	for(int i=2; i<=n; ++i)
//	{//LONG_LONG_MAX=9e18 > 4e9*1e9
//		f[i][0][0]=(f[i-1][0][0]*m34%mod+
//					(f[i-1][0][1]+f[i-1][0][2]+f[i-1][1][0]+f[i-1][2][0])*m3%mod+
//					(f[i-1][1][2]+f[i-1][2][1])*m23%mod)%mod;
//
//		f[i][0][1]=((f[i-1][0][0]+f[i-1][0][2])*(m-3)%mod+
//					(f[i-1][1][0]+f[i-1][2][0]+f[i-1][1][2])*(m-2)%mod)%mod;
//		f[i][1][0]=((f[i-1][0][0]+f[i-1][2][0])*(m-3)%mod+
//					(f[i-1][0][1]+f[i-1][0][2]+f[i-1][2][1])*(m-2)%mod)%mod;
//
//		f[i][0][2]=((f[i-1][0][0]+f[i-1][0][1])*(m-3)%mod+
//					(f[i-1][1][0]+f[i-1][2][0]+f[i-1][2][1])*(m-2)%mod)%mod;
//		f[i][2][0]=((f[i-1][0][0]+f[i-1][1][0])*(m-3)%mod+
//					(f[i-1][0][1]+f[i-1][0][2]+f[i-1][1][2])*(m-2)%mod)%mod;
//
//		f[i][1][2]=(f[i-1][0][0]+f[i-1][0][1]+f[i-1][2][0]+f[i-1][2][1])%mod;
//		f[i][2][1]=(f[i-1][0][0]+f[i-1][0][2]+f[i-1][1][0]+f[i-1][1][2])%mod;
//	}

	return 0;
}

25分的考场代码：

//Subtask?
#include <map>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
//#define rg register
#define mod (1000000007)
typedef long long LL;
const int N=1e6+5;

int m,col[N],pw[N];
LL n,tot,Ans;
std::map<int,bool> vis;

inline LL read()
{
	LL now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}
inline LL FP(LL x,LL k)
{
	LL t=1; //x%=mod;
	for(; k; k>>=1,x=x*x%mod)
		if(k&1) t=t*x%mod;
	return t;
}
inline LL Pow(LL x,int k)
{
	for(k--; k--; x*=x);
	return x;
}
inline bool Check(int x,int c)
{
	return ((c==col[x-1]&&x!=n+1)||(x>n&&c==col[x-n])||(x==n&&c==col[1])||(x==tot&&c==col[n+1]))^1;
}
void DFS(int x,int s)
{
	if(x>tot)
	{
		if(!vis[s]) ++Ans;
		return;
	}
	for(int i=1; i<=m; ++i)
		if(Check(x,i)) col[x]=i, DFS(x+1,s+(i-1)*pw[x-1]), col[x]=-1;
}
namespace Subtask4
{
	int f[N][3][3];
	LL Calc(int a,int b)
	{
		for(int i=2; i<=n; ++i)
			for(int j=0; j<3; ++j)
				for(int k=0; k<3; ++k)
					if(j!=k)
					{
						LL tmp=0;
						for(int jj=0; jj<3; ++jj)
							if(j!=jj)
								for(int kk=0; kk<3; ++kk)
									if(k!=kk) tmp+=f[i-1][jj][kk];
						f[i][j][k]=(int)(tmp%mod);
//						f[i][j][k]=tmp%mod;
//						tmp=(j!=0)*((k!=1)*f[i-1][0][1]+(k!=2)*f[i-1][0][2])+(j!=1)*((k!=0)*f[i-1][1][0]+(k!=2)*f[i-1][1][2])+(j!=2)*((k!=0)*f[i-1][2][0]+(k!=1)*f[i-1][2][1]);
					}
		LL ans=0;
		for(int j=0; j<3; ++j)
			for(int k=0; k<3; ++k)
				if(a!=j && b!=k) ans+=f[n][j][k];
		return ans%mod;
	}
	void Main()
	{
//		f[1][0][1]=f[1][0][2]=f[1][1][0]=f[1][1][2]=f[1][2][0]=f[1][2][1]=1;
		LL ans=0;
		for(int a=0; a<3; ++a)
			for(int b=0; b<3; ++b)
				if(a!=b) f[1][a][b]=1, ans+=Calc(a,b), f[1][a][b]=0;
		printf("%d\n",(int)(ans%mod));
	}
}

int main()
{
	freopen("planar.in","r",stdin);
	freopen("planar.out","w",stdout);
//	freopen("table.out","w",stdout);

	n=read(), tot=n<<1, m=read();
	if(m==1) return putchar('0'),0;
	if(m==2) return putchar(n&1?'0':'2'),0;

	if(n<=4 && m<=4)
	{
		pw[0]=1, col[0]=-1;
		for(int i=1; i<=tot; ++i) pw[i]=pw[i-1]*m, col[i]=-1;
		Ans=0, col[1]=1, DFS(2,0), printf("%I64d\n",Ans*m);
		return 0;
	}

	if(m==3) {Subtask4::Main(); return 0;}

	putchar('1');

//	for(m=3; m<=10; ++m)
//		for(n=3; n<=10; ++n)
//			if(FP(m,(tot=n<<1)-1)<=5e7)//n<=4 && m<=4
//			{
//				printf("(%I64d,%d)=",n,m);
//				pw[0]=1, col[0]=-1;
//				for(int i=1; i<=tot; ++i) pw[i]=pw[i-1]*m, col[i]=-1;
//				vis.clear(), Ans=0, col[1]=1, DFS(2,0), printf("%I64d\n",Ans*m);
////				vis.clear(), Ans=0, DFS(1,0), printf("%I64d\n",Ans);
//			}
//			else break;

	return 0;
}