母函数 入门习题

HDU.1028.Ignatius and the Princess III(母函数)

//0MS 1500K
//母函数。。背包、DP都行。。
#include <cstdio>
#include <cstring>
typedef long long LL;
const int N=122;

int n,f[N],tmp[N];

int main()
{
	while(~scanf("%d",&n))
	{
		memset(f,0,sizeof f), f[0]=1;//or 离线，对n排序。
		for(int i=1; i<=n; ++i) f[i]=1;
		for(int i=2; i<=n; ++i)
		{
			memset(tmp,0,sizeof tmp);
			for(int j=0; j<=n; ++j)
				for(int k=0; j+k<=n; k+=i)
					tmp[j+k]+=f[j];
			memcpy(f,tmp,sizeof f);
		}
		printf("%d\n",f[n]);
	}
	return 0;
}

HDU.1398.Square Coins(母函数)

//0MS 1512K
#include <cstdio>
#include <cstring>
const int N=303;

int n,f[N],tmp[N]; //平方数。。实际方案数也不是那么多。

void Init()
{
	n=300;//N=300不是17*17。。
	for(int i=0; i<=n; ++i) f[i]=1;
	for(int i=2; i<=17; ++i)
	{
		memset(tmp,0,sizeof tmp);
		for(int j=0; j<=n; ++j)
			for(int k=0; j+k<=n; k+=i*i)
				tmp[j+k]+=f[j];
		memcpy(f,tmp,sizeof f);
	}
}

int main()
{
	Init();
	while(scanf("%d",&n),n) printf("%d\n",f[n]);
	return 0;
}

HDU.1085.Holding Bin-Laden Captive!(母函数)

//46MS 1572K
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
const int N=8008,v[5]={0,1,2,5};

int n,f[N],tmp[N],num[5];

int main()
{
	while(scanf("%d%d%d",&num[1],&num[2],&num[3]),num[1]||num[2]||num[3])
	{
		n=1*num[1]+2*num[2]+5*num[3];
		memset(f,0,sizeof f), f[0]=1;
		for(int las=0,nxt,i=1; i<=3; ++i)
		{
			memset(tmp,0,sizeof tmp), nxt=std::min(las+v[i]*num[i],n);
			for(int j=0; j<=las; ++j)
				for(int k=0; k<=num[i]/*&&j+k*v[i]<=nxt*/; ++k)
					tmp[j+k*v[i]]+=f[j];
			memcpy(f,tmp,sizeof f), las=nxt;
		}
		bool flag=1;
		for(int i=1; i<=n; ++i)
			if(!f[i]) {printf("%d\n",i), flag=0; break;}
		if(flag) printf("%d\n",n+1);
	}
	return 0;
}

HDU.1521.排列组合(指数型母函数)

//0MS 1524K
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
const int N=13;

int n,m,num[N],fac[N];
double f[N],tmp[N];

int main()
{
	fac[0]=1;
	for(int i=1; i<=11; ++i) fac[i]=fac[i-1]*i;
	while(~scanf("%d%d",&n,&m))
	{
		for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d",&num[i]);
		memset(f,0,sizeof f);
		for(int i=0; i<=num[1]; ++i) f[i]=1.0/fac[i];
		for(int i=2; i<=n; ++i)
		{
			memset(tmp,0,sizeof tmp);
			for(int j=0; j<=m; ++j)
				if(f[j])
					for(int k=0; k<=num[i]&&j+k<=m; ++k)
						tmp[j+k]+=f[j]/(double)fac[k];//要乘的系数为1/k! 
			memcpy(f,tmp,sizeof f);
		}
		printf("%.0lf\n",1.0*fac[m]*f[m]);//f:组合数 
	}
	return 0;
}

HDU.2065.红色病毒问题(指数型母函数)

\(Description\)

　　求满足下列条件的长为\(n\)的字符串个数。
条件：
　　1.仅由'A','B','C','D'构成；
　　2.'A','C'出现偶数次（也可以不出现）。

\(Solution\)

　　尝试用母函数表示，实际是要求

\[(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots)^2(1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots)^2 \]

　　由

\[\begin{aligned}e^x&=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots\\e^{-x}&=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\ldots\end{aligned} \]

　　可得

\[\begin{aligned} 原式&=e^{2x}\left[\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})\right]^2\\ &=\frac{1}{4}(e^{4x}+2e^{2x}+1)\\ &=\frac{1}{4}\left[1+4x+\frac{(4x)^2}{2!}+\frac{(4x)^3}{3!}+\ldots+1+2\times2x+\frac{2\times(2x)^2}{2!}+\frac{2\times(2x)^3}{3!}+\ldots+1\right]\\ &=\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}[4^n+2\times2^n]\frac{x^n}{n!} \end{aligned}\]

　　还有个第三个式子化出来的\(1\)给省掉了。它应该是只对\(n=0\)有贡献吧。。
　　这就是指数型母函数的形式。于是第\(n\)项系数即为

\[\begin{aligned}a_n&=\frac{1}{4}(4^n+2\times2^n)\\&=4^{n-1}+2^{n-1}\end{aligned} \]

//0MS	1576K
#include <cstdio>
#include <cctype>
#define mod (100)
#define gc() getchar()

inline long long read()
{
	long long now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}
inline int FP(int x,long long k)
{
	int t=1;
	for(; k; k>>=1, x=x*x%mod)
		if(k&1) t=t*x%mod;
	return t;
}

int main()
{
	int T; long long n;
	while(T=read(),T){
		for(int Case=1; Case<=T; ++Case)
			n=read(), printf("Case %d: %d\n",Case,(FP(4,n-1)+FP(2,n-1))%mod);
		putchar('\n');
	}
	return 0;
}