BZOJ.4903.[CTSC2017]吉夫特(Lucas DP)

题目链接

新写了一篇题解，看这儿吧：https://www.cnblogs.com/SovietPower/p/9775319.html。

显然我们要求出\(C(n,m)\)为奇数的所有\((n,m)\)。
有一个结论: \(C(n,m)\)是奇数时，有\(n\&m==m\)。
设\(f[i]\)为从\(A[i]\)开始能构成的序列数，那么有\(f[i]=\sum f[j]\)，其中\(j\)为在\(i\)后面且满足\(A[i]\&A[j]==A[j]\)的数。
(当然\(f[i]\)也可以表示以\(A[i]\)结尾构成的序列数，这样可以直接正序枚举，好像更好些。。)
\(j\)显然是\(i\)的二进制1的子集，可以。。反正以可行的复杂度枚举，只需要记录每个数的位置就可以得到答案。
因为是枚举子集，而且最大值为233333，所以复杂度为\(O(3^{\log 233333})=O(3^{18})\)。

结论的证明: 因为是\(mod\ 2\)，所以考虑Lucas定理。
在\(mod\ 2\)的情况下\(C(n,m)\)最后只会化成4种情况: \(C(0,1),C(0,0),C(1,0),C(1,1)\),后三种情况都是1，\(C(0,1)\)不存在(0)，所以如果\(C(n,m)mod\ 2\)为偶数，那么一定在Lucas的过程中出现了\(C(0,1)\)。
\(mod\ 2\)的过程容易想到位运算。由\(C(n,m)mod\ 2=C(n\%2,m\%2)*C(n/2,m/2)=C(n\&1,m\&1)*C(n>>1,m>>1)\) 可知，若\(C(n,m)\)为奇数，那么\(m\)一定是\(n\)二进制1的子集。

很多人写的太神奇了。。不看了。

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#include <cstdio>
#include <cctype>
#define gc() getchar()
#define mod (1000000007)
const int N=220005,S=240000;

int n,A[N],f[N],pos[S];

inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}
int main()
{
	n=read();
	for(int i=1; i<=n; ++i) pos[A[i]=read()]=i;
//	for(int i=1; i<=n; ++i) f[i]=1;//先赋值为1，最后需要都减掉1，即长度为1的。
	long long res=0;
	for(int i=n; i; --i){
		long long tmp=1;//初值1.
		for(int j=(A[i]-1)&A[i]; j; j=(j-1)&A[i])//每次只减1然后取与。
			if(pos[j]>i) tmp+=f[pos[j]];
		f[i]=(tmp%mod), res+=f[i]-1;
	}
	printf("%d",int(res%mod));

	return 0;
}