BZOJ.4817.[SDOI2017]树点涂色(LCT DFS序 线段树)

BZOJ
洛谷

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\(Description\)
有一棵\(n\)个点的有根树（初始\(1\)为根），每个点有不同的颜色。有\(m\)次三种操作：

1. \(x\)：把\(x\)到根节点的路径上所有点染成一种没出现过的颜色。
2. \(x\ y\)：求\(x\)到\(y\)路径上出现颜色的种数。
3. \(x\)：在\(x\)的子树中选一个点，使其到根节点的路径上出现颜色种数最多。
   \(n,m\leq10^5\)。

\(Solution\)
操作\(1.2\)裸树剖，但是操作\(3\)每个点的答案\(val\)很不好维护。。
如果我们把同种颜色的点划分到同一连通块中，那么向根染色的过程就是Access()！
最初所有点间都是虚边，相同颜色点用实边相连。一条边由实边变为虚边时，深度大的点所在子树所有点\(val+1\)(Access()中原先\(x\)的右儿子答案\(+1\)，因为\(x\)颜色变了)；
由虚边变为实边时，深度大的点所在子树所有点\(val-1\)(\(fa[x]\)颜色与\(x\)相同导致\(fa[x]\)的贡献没了).(其实是因为 实链数量(贡献)就等于虚边数量\(+1\)？无所谓了)
于是操作\(2\)就是\(val[x]+val[y]-2*val[LCA]+1\)；3.是在子树中查询最大值。用线段树+DFS序维护。

有些神奇...如果能用树剖维护每个点到其子节点的边，也是可以的，但是不好维护。而LCT就能做到这点。

ps：

1. 建树是在DFS序上的，所以深度\(dep\)应以DFS序存储，而不是\(dep[to[i]]=dep[x]+1\)（这个是写法问题）。
2. Access()中更新右子树代表的子树，是要找到深度次大（相连的）的点，即右子树的最左儿子，而不是直接用右子树！
3. 对于操作二，输出\(val[x]+val[y]-2*val[LCA(x,y)]+1\)就可以了，不需要考虑\(fa[LCA(x,y)]\)。\(x\)的颜色会被计算两次，但应该一定是统计它一次。

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原先的代码：

//29372kb	5412ms
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
#define B 17
const int N=1e5+5;

int n,cnt,dep[N],in[N],out[N],Enum,H[N],to[N<<1],nxt[N<<1];
int pos[N],id[N],log2[N<<1],tot,tm,st[N<<1][18];
struct Seg_Tree
{
	#define ls l,m,rt<<1
	#define rs m+1,r,rt<<1|1

	int val[N<<2],mx[N<<2],tag[N<<2];
	inline void Update(int rt){
		mx[rt]=std::max(mx[rt<<1],mx[rt<<1|1]);
	}
	inline void Add(int rt,int v){
		val[rt]+=v, tag[rt]+=v, mx[rt]+=v;
	}
	inline void PushDown(int rt){
		Add(rt<<1,tag[rt]), Add(rt<<1|1,tag[rt]), tag[rt]=0;
	}
	void Build(int l,int r,int rt)
	{
		if(l==r) val[rt]=mx[rt]=dep[l];
		else{
			int m=l+r>>1;
			Build(ls), Build(rs), Update(rt);
		}
	}
	int Query_P(int l,int r,int rt,int pos)
	{
		if(l==r) return val[rt];
		if(tag[rt]) PushDown(rt);
		int m=l+r>>1;
		if(pos<=m) return Query_P(ls,pos);
		return Query_P(rs,pos);
	}
	int Query_Max(int l,int r,int rt,int L,int R)
	{
		if(L<=l && r<=R) return mx[rt];
		if(tag[rt]) PushDown(rt);
		int m=l+r>>1;
		if(L<=m)
			if(m<R) return std::max(Query_Max(ls,L,R),Query_Max(rs,L,R));
			else return Query_Max(ls,L,R);
		return Query_Max(rs,L,R);
	}
	void Modify(int l,int r,int rt,int L,int R,int v)
	{
		if(L<=l && r<=R) Add(rt,v);
		else
		{
			if(tag[rt]) PushDown(rt);
			int m=l+r>>1;
			if(L<=m) Modify(ls,L,R,v);
			if(m<R) Modify(rs,L,R,v);
			Update(rt);
		}
	}
}t;
namespace LCT
{
	#define lson son[x][0]
	#define rson son[x][1]

	int fa[N],son[N][2],sk[N],L[N]/*Attention!*/;
	bool rev[N];
	inline void Update(int x){
		L[x]= lson?L[lson]:x;
	}
	inline void Rev(int x){
		std::swap(lson,rson), rev[x]^=1;
	}
	inline void PushDown(int x){
		if(rev[x]) Rev(lson),Rev(rson),rev[x]=0;
	}
	inline bool n_root(int x){
		return son[fa[x]][0]==x||son[fa[x]][1]==x;
	}
	void Rotate(int x)
	{
		int a=fa[x],b=fa[a],l=son[a][1]==x,r=l^1;
		if(n_root(a)) son[b][son[b][1]==a]=x;
		if(son[x][r]) fa[son[x][r]]=a;
		fa[a]=x, fa[x]=b, son[a][l]=son[x][r], son[x][r]=a;
		Update(a);
	}
	void Splay(int x)
	{
		int t=1,a=x; sk[1]=x;
		while(n_root(a)) sk[++t]=a=fa[a];
		while(t) PushDown(sk[t--]);
		while(n_root(x))
		{
			if(n_root(a=fa[x])) Rotate(son[a][1]==x^son[fa[a]][1]==a?x:a);
			Rotate(x);
		}
		Update(x);
	}
//	#define D(A,B) printf("Modify:%d->%d %d\n",x,A,B);
	void Access(int x)
	{
		for(int pre=0; x; x=fa[pre=x])
		{
			Splay(x);
			if(rson) t.Modify(1,cnt,1,in[L[rson]],out[L[rson]],1);//L[]!!!
			if(pre) t.Modify(1,cnt,1,in[L[pre]],out[L[pre]],-1);
			rson=pre;
		}
	}
}
inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}
void AddEdge(int u,int v)
{
	to[++Enum]=v, nxt[Enum]=H[u], H[u]=Enum;
	to[++Enum]=u, nxt[Enum]=H[v], H[v]=Enum;
}
void DFS(int x,int f)
{
	int t=++tm; st[pos[x]=++tot][0]=tm, id[tm]=x;
	in[x]=++cnt;
	LCT::fa[x]=f;
	for(int i=H[x]; i; i=nxt[i])
		if(to[i]!=f) dep[cnt+1]=dep[in[x]]+1/*Attention!*/, DFS(to[i],x), st[++tot][0]=t;
	out[x]=cnt;
}
void Init_RMQ()
{
	for(int i=2; i<=tot; ++i) log2[i]=log2[i>>1]+1;
	for(int j=1; j<=log2[tot]; ++j)
		for(int i=tot-(1<<j-1); i; --i)
			st[i][j]=std::min(st[i][j-1],st[i+(1<<j-1)][j-1]);
}
int LCA(int l,int r)
{
	l=pos[l], r=pos[r];
	if(l>r) std::swap(l,r);
	int k=log2[r-l+1];
	return id[std::min(st[l][k],st[r-(1<<k)+1][k])];
}
int Query(int x,int y){
	int w=LCA(x,y);// printf("LCA:%d,%d:%d\n",x,y,w);
	return t.Query_P(1,cnt,1,in[x])+t.Query_P(1,cnt,1,in[y])-2*t.Query_P(1,cnt,1,in[w])+1;
}

int main()
{
	n=read();int q=read(),opt,x,y;
	for(int u,v,i=1; i<n; ++i) u=read(),v=read(),AddEdge(u,v);
	dep[1]=1, DFS(1,0), t.Build(1,cnt,1), Init_RMQ();
	while(q--)
	{
		opt=read(),x=read();
		if(opt==1) LCT::Access(x);
		else if(opt==2) y=read(), printf("%d\n",Query(x,y));
		else printf("%d\n",t.Query_Max(1,cnt,1,in[x],out[x]));
	}
	return 0;
}

新写的代码（19.2.13）：

//14980kb	3456ms
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 300000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
typedef long long LL;
const int N=1e5+5;

int n,Enum,H[N],nxt[N<<1],to[N<<1],in[N],out[N],dep[N],fa[N],sz[N],son[N],top[N],A[N];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;

struct Segment_Tree
{
	#define ls rt<<1
	#define rs rt<<1|1
	#define lson l,m,ls
	#define rson m+1,r,rs
	#define S N<<2
	int mx[S],tag[S];
	#undef S
	#define Upd(rt,v) mx[rt]+=v, tag[rt]+=v
	#define Update(rt) mx[rt]=std::max(mx[ls],mx[rs])
	inline void PushDown(int rt)
	{
		Upd(ls,tag[rt]), Upd(rs,tag[rt]), tag[rt]=0;
	}
	void Build(int l,int r,int rt)
	{
		if(l==r) {mx[rt]=A[l]; return;}
		int m=l+r>>1;
		Build(lson), Build(rson), Update(rt);
	}
	void Modify(int l,int r,int rt,int L,int R,int v)
	{
		if(L<=l && r<=R) {Upd(rt,v); return;}
		if(tag[rt]) PushDown(rt);
		int m=l+r>>1;
		if(L<=m) Modify(lson,L,R,v);
		if(m<R) Modify(rson,L,R,v);
		Update(rt);
	}
	int Query(int l,int r,int rt,int L,int R)
	{
		if(L<=l && r<=R) return mx[rt];
		if(tag[rt]) PushDown(rt);
		int m=l+r>>1;
		if(L<=m)
			if(m<R) return std::max(Query(lson,L,R),Query(rson,L,R));
			else return Query(lson,L,R);
		return Query(rson,L,R);
	}
	int QueryP(int l,int r,int rt,int pos)
	{
		if(l==r) return mx[rt];
		if(tag[rt]) PushDown(rt);
		int m=l+r>>1;
		return pos<=m ? QueryP(lson,pos) : QueryP(rson,pos);
	}
	#undef ls
	#undef rs
	#undef lson
	#undef rson
	#undef Upd
	#undef Update
}T;

namespace LCT
{
	#define lson son[x][0]
	#define rson son[x][1]
	int son[N][2],fa[N],L[N];

	inline void Init(const int n){
		for(int i=1; i<=n; ++i) L[i]=i;
	}
	inline bool n_root(int x){
		return son[fa[x]][0]==x||son[fa[x]][1]==x;
	}
	inline void Update(int x){
		L[x]=lson?L[lson]:x;
	}
	void Rotate(int x)
	{
		int a=fa[x],b=fa[a],l=son[a][1]==x,r=l^1;
		if(n_root(a)) son[b][son[b][1]==a]=x;
		if(son[x][r]) fa[son[x][r]]=a;
		fa[x]=b, fa[a]=x, son[a][l]=son[x][r], son[x][r]=a;
		Update(a);
	}
	void Splay(int x)
	{
		int a;
		while(n_root(x))
		{
			if(n_root(a=fa[x])) Rotate(son[a][0]==x^son[fa[a]][0]==a?x:a);
			Rotate(x);
		}
		Update(x);
	}
	void Access(int x)
	{
		for(int pre=0; x; x=fa[pre=x])
		{
			Splay(x);
			if(rson) T.Modify(1,n,1,in[L[rson]],out[L[rson]],1);//L!
			if(pre) T.Modify(1,n,1,in[L[pre]],out[L[pre]],-1);
			rson=pre;
		}
	}
}

inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-48,c=gc());
	return now;
}
inline void AE(int u,int v)
{
	to[++Enum]=v, nxt[Enum]=H[u], H[u]=Enum;
	to[++Enum]=u, nxt[Enum]=H[v], H[v]=Enum;
}
inline int LCA(int u,int v)
{
	while(top[u]!=top[v]) dep[top[u]]>dep[top[v]]?u=fa[top[u]]:v=fa[top[v]];
	return dep[u]>dep[v]?v:u;
}
void DFS1(int x)
{
	static int Index=0;
	A[in[x]=++Index]=dep[x];
	int mx=0; sz[x]=1;
	for(int i=H[x],v; i; i=nxt[i])
		if((v=to[i])!=fa[x])
			dep[v]=dep[x]+1, fa[v]=x, LCT::fa[v]=x, DFS1(v), sz[x]+=sz[v], sz[v]>mx&&(mx=sz[v],son[x]=v);
	out[x]=Index;
}
void DFS2(int x,int tp)
{
	top[x]=tp;
	if(son[x])
	{
		DFS2(son[x],tp);
		for(int i=H[x],v; i; i=nxt[i])
			if((v=to[i])!=fa[x] && v!=son[x]) DFS2(v,v);
	}
}

int main()
{
	int n=read(),q=read(); ::n=n;
	for(int i=1; i<n; ++i) AE(read(),read());
	dep[1]=1, DFS1(1), DFS2(1,1), T.Build(1,n,1), LCT::Init(n);
	for(int x,y; q--; )
		switch(read())
		{
			case 1: LCT::Access(read()); break;
			case 2: x=read(), y=read(), printf("%d\n",T.QueryP(1,n,1,in[x])+T.QueryP(1,n,1,in[y])-(T.QueryP(1,n,1,in[LCA(x,y)])<<1)+1); break;
			case 3: x=read(), printf("%d\n",T.Query(1,n,1,in[x],out[x])); break;
		}

	return 0;
}