Codeforces.919E.Congruence Equation(同余 费马小定理)

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\(Description\)

给定a,b,x,p，求[1,x]中满足n*a^n ≡b (mod p) 的n的个数。\(1<=a,b<p\), \(p<=1e6+3\), \(x<=10^{12}\).

\(Solution\)

边界很大，p比较小且为质数，考虑左边这个式子有没有循环节。
由费马小定理 \(a^{p-1} ≡a^0 ≡1(mod\ p)\)，\(a^n\)的循环节(一定)为 \(p-1\)；\(n%p\) 的循环节(一定)为p
所以 \(n*a^n\) 一定有长为 \(p(p-1)\) 的循环节
设 \(n=k(p-1)+y\)，那么 \(n*a^n ≡[k(p-1)+y]*a^{k(p-1)+y} ≡[k(p-1)+y]*a^y (mod\ p)\)
于是原来式子可以化成求n满足 \(k(p-1)+y ≡y-k ≡b*a^{-y} (mod\ p)\)
那么 \(k ≡y-b*a^{-y} (mod\ p)\) (那么满足条件的最小的k就是右式的值)
此时\(1\leq y<p\)，于是我们可以枚举y得到一个k，然后就有了一个 \(n=k(p-1)+y\)。
因为循环节长度是p(p-1)，所以只需要算在上界内还有多少个p(p-1)即可

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#include <cstdio>
typedef long long LL;

LL a,b,p,x;

LL FP(LL x,int k)
{
	LL t=1;
	for(; k; k>>=1,x=x*x%p)
		if(k&1) t=t*x%p;
	return t;
}
LL inv(LL x){
	return FP(x,p-2);
}

int main()
{
	scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&p,&x);
	LL res=0,P=p*(p-1);
	for(int y=1; y<p; ++y)
	{
		LL k=(y-b*inv(FP(a,y))%p+p)%p;
		LL n=(p-1)*k+y;//注意这步不要取模 
		if(n<=x) res+=(x-n)/P+1;
	}
	printf("%I64d",res);

	return 0;
}