图论
Some Definations.
DFST: 深度优先生成树
### 二分图 **1. 若一个图不存在奇环，那么这是二分图。（二分图中的环只能是偶环，无奇环）**
### 竞赛图 **竞赛图：**每对顶点之间都有一条(有向)边相连的有向图。 **性质：** **1. 竞赛图一定存在哈密顿通路，强连通竞赛图一定存在哈密顿回路。** > 大致证明(数学归纳)： 首先三个点时显然。假设现在有1->2->3->...，存在一条哈密顿通路。加入一个点n，无论其它点与n的边怎么连，都能形成哈密顿通路。回路同理。
2. \((i,n\geq 3\ ,\ i\leq n)\) n个点的强连通竞赛图中包含有长度为i的简单环。
大致证明(数学归纳)：
假设现在有左边n个点的强连通竞赛图，考虑新加入的点x，
假如这条边是这样的(由x连向原图点j)：
如果要不产生环，那么x与第二个点i的连边只能是x->i，否则就产生了i->x->j 成了一个环。
同理对于每个点都只能这么取。
到最后一个点时，如果还这么取，
我们可以发现，图变得不是强连通图了。所以不可能这样取边。
3. 竞赛图缩点后一定是条链。
大致证明：
假如缩点后不是一条链，是这样的话：
左边这两个点肯定有条边，
要么会把这条边删去：
要么会把另一条删去：
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很久以前的奇怪但现在依旧成立的签名
attack is our red sun $$\color{red}{\boxed{\color{red}{attack\ is\ our\ red\ sun}}}$$ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
很久以前的奇怪但现在依旧成立的签名
attack is our red sun $$\color{red}{\boxed{\color{red}{attack\ is\ our\ red\ sun}}}$$ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
