Some Formulas.

目录

• 结论
• 计数问题
  • 在一个有\(n\)个点的完全图(complete graph)中有多少棵生成树
• 排列组合
  • 1. 当 \(C_n^m\) 为奇数时，\((n\&m)==m\)
  • 2. \(\sum_{i=0}^n\frac{1}{i!(n-i)!}=\frac{2^n}{n!}\)
  • 3. Catalan数应用扩展
  • 4. 组合数的各种性质及定理
• 数论
  • 1. 计算\(n!\)中质因子p的个数的公式（\(\varepsilon_{p}(n!)\)）
  • 2. 线性求阶乘逆元
  • 3. \(n\)为奇数时，\(\varphi(n)=\varphi(2n)\)。

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待填。。

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结论

• 任何一个正整数可由最多三个三角数构成。
• 四平方和：任何一个正整数可由最多4个整数的平方和构成。
• \(\lfloor\frac{x^k}{t}\rfloor\times x+\lfloor\frac{(x^k\% t)\times x}{t}\rfloor=\lfloor\frac{x^{k+1}}{t}\rfloor\)。例题及证明：BZOJ3811 玛里苟斯。

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计数问题

在一个有\(n\)个点的完全图(complete graph)中有多少棵生成树

　　对每个\(n>0\)，\({1,2,\cdots,n}\)上的完全图恰好有\(n^{n-2}\)棵生成树。
　　证明见《具体数学（第二版）》7.6 指数型生成函数。
　　（就是Prufer序列的结论）

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排列组合

1. 当 \(C_n^m\) 为奇数时，\((n\&m)==m\)

证明：因为是\(\mod 2\)，所以考虑Lucas定理。
在\(\mod 2\)的情况下\(C(n,m)\)最后只会化成4种情况: \(C(0,1),C(0,0),C(1,0),C(1,1)\),后三种情况都是1，\(C(0,1)\)不存在(0)，所以如果\(C(n,m)\mod 2\)为偶数，那么一定在Lucas的过程中出现了\(C(0,1)\)。
\(\mod 2\)的过程容易想到位运算。
由\(C(n,m)\mod 2=C(n\%2,m\%2)*C(n/2,m/2)=C(n\&1,m\&1)*C(n>>1,m>>1)\) 可知，若\(C(n,m)\)为奇数，那么\(m\)一定是\(n\)二进制1的子集。

2. \(\sum_{i=0}^n\frac{1}{i!(n-i)!}=\frac{2^n}{n!}\)

https://www.cnblogs.com/SovietPower/p/9425230 （这好像是某组合公式吧）

3. Catalan数应用扩展

https://blog.csdn.net/qq_33435265/article/details/68954205

4. 组合数的各种性质及定理

https://blog.csdn.net/litble/article/details/75913032

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数论

1. 计算\(n!\)中质因子p的个数的公式（\(\varepsilon_{p}(n!)\)）

\[f(n)=\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{n}{p^2}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{n}{p^3}\right\rfloor +\cdots \]

递归式为$$f(n)=f(\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor)+\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor$$

for(LL i=n; i; i/=p) k+=i/p;

应用：分解阶乘的质因数，如BZOJ1005、CF 1114C、扩展Lucas。

　　可由\(\varepsilon_2(n!)\)推广到任意素数\(p\)？即$$\varepsilon_p(n!)=\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{n}{p^2}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{n}{p^3}\right\rfloor +\cdots=\sum_{k\geq1}\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor$$
　　\(\varepsilon_p(n!)\)有多大？从求和式中直接去掉底，然后对无穷几何级数求和，可以得到一个简单（然而很好的）上界：
　　\(\begin{aligned}\varepsilon_p(n!)&<\frac{n}{p}+\frac{n}{p^2}+\frac{n}{p^3}+\cdots\\&=\frac{n}{p}\left(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\cdots\right)\\&=\frac{n}{p}\left(\frac{p}{p-1}\right)\\&=\frac{n}{p-1}\end{aligned}\)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——from 《具体数学（第二版）》
　　有兴趣的还可以看直尺函数(ruler function)。

其它性质：

• 令\(S(n)\)表示\(n\)在\(p\)进制下的数位和，则$$f(n)=\frac{n-S(n)}{p-1}$$

• \(C(a+b,b)\)中\(p\)的个数（\(f(C(a+b,b))\)）等于\(a+b\)在\(p\)进制下进位的次数。

2. 线性求阶乘逆元

因为\(((n-1)!)^{-1}=(n!)^{-1}*n\)。应用见排列组合2.

inv[n]=FP(fac[n],mod-2);
for(int i=n-1; ~i; --i) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;

3. \(n\)为奇数时，\(\varphi(n)=\varphi(2n)\)。