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插值法


插值法

2018.1.9 学习笔记 (就当是个汇总吧)
Tags: 数学,数论


自己以前写的好naive啊QAQ丢个链接走人:
https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/10063039.html
https://blog.csdn.net/qq_35649707/article/details/78018944
不要看这篇了...


Another place.

插值

引用青峰碧陋室
  在工程应用和科学研究中,经常要研究变量之间的关系\(y=f(x)\)。但对于函数\(f(x)\),常常得不到一个具体的解析表达式,它可能是通过观测或实验得到的一组数据\((x,f(x))\)\(x\)为一向量;或则是解析表达式非常复杂,不便于计算和使用。因此我们需要寻找一个计算比较简单的函数\(S(x)\)近似代替\(f(x)\),并使得\(S(x)=f(x)\),这种方法就称为插值法。

常见的插值法有:
  一维插值法:拉格朗日插值、牛顿插值、分段低次插值、埃尔米特差值、样条插值。
  二维插值法:双线性插值、双二次插值。

拉格朗日插值

摘自Angel_Kittyattack's blog

拉格朗日多项式

  许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律,而不少函数都只能通过实验和观测来了解。如对实践中某个物理量进行观测,在若干个不同的地方得到相应的观测值,拉格朗日插值法可以找到一个多项式,其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日(插值)多项式
  对于给定的\(n+1\)个点\((x_0,y_0),(x_1,y_1),\cdots,(x_n,y_n)\),对应于它们的次数不超过n的拉格朗日多项式L只有一个。如果计入次数更高的多项式,则有无穷个,因为所有与L相差 \(\lambda(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)\)的多项式都满足条件。

定义

  对某个多项式函数,已知有给定的\(k+1\)个取值点:\((x_0,y_0),(x_1,y_1),\cdots,(x_k,y_k)\),其中\(x_j\)对应着自变量的位置,而\(y_j\)对应着函数在这个位置的取值。
  假设任意两个不同的\(x_j\)都互不相同,那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为:

\[L(x)=\sum_{j=0}^{k}y_jl_j(x) \]

其中每个\(l_j(x)\)拉格朗日基本多项式(或称插值基函数),其表达式为:

\[l_j(x)=\prod_{i=0,i\neq j}^{k}\frac{x-x_i}{x_j-x_i}=\frac{x-x_0}{x_j-x_0}\cdots\frac{x-x_{j-1}}{x_j-x_{j-1}}\frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}}\cdots\frac{x-x_k}{x_j-x_k} \]

  拉格朗日基本多项式\(l_j(x)\)的特点是在\(x_j\)上取值为1,在其它的点\(x_i,i\neq j\)上取值为0。

应用

  若给定\(n\)个互不相同的点\((x,y)\),则该\(n-1\)次多项式被唯一确定。利用拉格朗日插值,可以在\(O(n)\)的时间内计算出某一项的值,还可以在\(O(n^2)\)的时间内计算出给定的x所对应的y。

公式

  若对于\(n-1\)次多项式,给定\(n\)个互不相同的点\((x,y)\),那么对于给定的\(x\)
  第\(i\)项的值为$$l(i)=y_i\prod_{j=1,j\neq i}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$
  所对应的\(y\)为$$\begin{aligned}y&=\sum_{i=1}{n}l(i)\&=\sum_{i=1}y_i\prod_{j=1,j\neq i}{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}\end{aligned}$$

Code

double Lagrange(double *x,double *y,double X)//x和y分别为x和f(x)的取值,X为要求的点,返回f(X) 
{
	double res=0,tmp;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		tmp=1;
		for(int j=1;j<=n;++j)
			if(i!=j) tmp=tmp*(X-x[i])/(x[i]-x[j]);
		res+=y[i]*tmp;
	}
	return res;
}

例子 && 证明:存在性与唯一性 && 几何性质

  见blog

优点与缺点

  拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑,在理论分析中十分方便,然而在计算中,当插值点增加或减少一个时,所对应的基本多项式就需要全部重新计算,于是整个公式都会变化,非常繁琐。这时可用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替。此外,当插值点比较多的时候,拉格朗日插值多项式的次数可能会很高,因此具有数值不稳定的特点,也就是说尽管在已知的几个点取到给定数值,但在附近却会和“实际上”的值之间有很大偏差,这类现象也称为龙格现象,解决方法是分段用较低次数的插值多项式。

重心拉格朗日插值法

  见blog...已弃疗


牛顿插值法(格雷戈里-牛顿公式)

牛顿插值原理利用差分的牛顿插值利用均差的牛顿插值弃疗*2

定义

  已知函数\(f(x)\)\(n+1\)个互异节点\(x_i\)处的函数值\(f(x_i)\),则其牛顿插值多项式可以写为:

\[N_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1}) \]

  其中,\(a_k\)\(f(x)\)的k阶差商(也叫均差),可以表示如下:

\[a_k=f[x_0,x_1,\cdots,x_{k-1},x_k] \]

  也可以由函数值\(f(x_i)\)线性表示为:

\[a_k=\sum_{i=0}^{n}\frac{f(x_i)}{(x_i-x_0)\cdots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_k)} \]

Code

double DifferenceQuotient(double *x,double *y,int k)//计算差商 
{
	double res=0,tmp;
	for(int i=1;i<=k;++i)
	{
		tmp=1;
		for(int j=1;j<=k;++j)
			if(i!=j) tmp/=(x[i]-x[j]);
		res+=y[i]*tmp;
	}
	return res;
}
double Newton(double *x,double *y,double X)
{
	double res=y[1],tmp=1;
	for(int i=2;i<=n;++i)
		tmp*=(X-x[i-1]), res+=DifferenceQuotient(x,y,i)*tmp;
	return res;
}

优点

  当插值节点增加时,之前已计算的结果仍然能用,每增加一个节点,只要再增加一项即可,从而避免了重复计算。

posted @ 2018-01-11 21:41  SovietPower  阅读(878)  评论(0编辑  收藏  举报