卡特兰数 Catalan 笔记

一.公式

卡特兰数一般公式

　　令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式。h(n) = h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)。也就是说，如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数。

组合公式

　　Cn = C(2n,n) / (n+1)

　　(化简前 h(n) = c(2n,n)-c(2n,n+1) (n=0,1,2,...) 证明)

递归公式1

　　h(n) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)

递归公式2

　　h(n) = ∑(i=0 to n-1) h(i)*h(n-i-1)

 

二.资料

　　catalan---卡特兰数(小结)

 

三.某些题

1.在圆上选择2n个等间隔的点。证明将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数等于第n个Catalan数

设方法数为g_n，分别将这些点用1，2，…，2n标记。取定点1，任选另一个偶数点2k，连接点1与点2k。该线段将圆分成K₁和K₂两部分。对K₁，有k-1对点，故有g_k-1种方法；对K₂，有n-k对点，故有g_n-k种方法。所以
   g₀=1
   令h_n=g_n-1，则
   h_n+1=h₁h_n+h₂h_n-1+…+h_nh₁  h₁=1

   所以gn=g0 gn-1 + g1 gn-1 +...+ gn-1 g0

   即 g_n=C_n

2.二叉树计数：一个有n个结点的二叉树总共有多少种形态

//设当前根节点为k，方案数为h[k]，左子树有k-1个节点，右子树有n-k个节点 
//则 h[k]=h[k-1]*h[n-k](k=1 to n) 
//Ans= h[0]h[n-1] + h[1]h[n-2] +...+ h[n-1][0]
//即卡特兰数 
#include<cstdio>
#include<cctype>
using namespace std;
const int N=22;

int n;
long long H[N];

int read()
{
    int now=0;bool f=0;char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar())
      if(c=='-') f=1;
    for(;isdigit(c);c=getchar())
      now=(now<<3)+(now<<1)+c-'0';
    return f?-now:now;
}

int main()
{
    n=read();
    H[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
      H[i]=H[i-1]*(4*i-2)/(i+1);
    printf("%lld",H[n]);
    return 0;
}

3.出栈次序：一个栈（无穷大）的进栈次序为1、2、3……n。不同的出栈次序有几种。

　　我们可以这样想，假设k是最后一个出栈的数。比k早进栈且早出栈的有k-1个数，一共有h(k-1)种方案。比k晚进栈且早出栈的有n-k个数，一共有h(n-k)种方案。所以一共有h(k-1)*h(n-k)种方案。显而易见，k取不同值时，产生的出栈序列是相互独立的，所以结果可以累加。k的取值范围为1至n，所以结果就为h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)。(转自Blog)

//设k为最后一个出栈的数，
//有k-1个比k早进栈且比k早出栈，有C[k-1]种方案 
//有n-k个比k晚进栈但比k早出栈，有C[n-k]种方案 
//根据乘法原理，C[k]=C[k-1]*C[n-k](k=1 to n) 
//Ans = C[0]C[n-1] + C[1][n-2] +...+ C[n-1][0]
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=22;

int n;
long long Ca[N];

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    Ca[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
      Ca[i]=Ca[i-1]*(4*i-2)/(i+1);
    printf("%lld",Ca[n]);
    return 0;
}

 

注：

　　long long最大只能到33

Code：

Ca[0]=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
    Ca[i]=Ca[i-1]*(4*i-2)/(i+1);

 高精：

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
using namespace std;
const int p=4,mod=10000;

int C[50005];

inline int read()
{
    int now=0;bool f=0;char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar())
      if(c=='-') f=1;
    for(;isdigit(c);c=getchar())
      now=(now<<3)+(now<<1)+c-'0';
    return f?-now:now;
}

void Print(int n[])
{
    printf("%d",n[n[0]]);
    for(int i=n[0]-1;i;--i)
      printf("%0*d",p,n[i]);
    puts("");
}
void Mult(int n[],int t)
{
    int x=0;
    ++n[0];
    for(int i=1;i<=n[0];++i)
    {
        n[i]=n[i]*t+x;
//        printf("%d:%d\n",i,n[i]);
        x=n[i]/mod;
        n[i]%=mod;
    }
    while(!n[n[0]] && n[0]>1) --n[0];
//    Print(n);
}
void Div(int n[],int t)
{
    int x=0;
    for(int i=n[0];i;--i)
    {
        n[i]=x*mod+n[i];
        x=n[i]%t;
        n[i]/=t;
    }
    while(!n[n[0]] && n[0]>1) --n[0];
//    Print(n);
}

int main()
{
    int n=read();
    C[0]=1;
    C[1]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
//        C[now]=C[now-1]*(4*i-2)/(i+1);
//        printf("\n%d:\n",i);
        Mult(C,4*i-2);
        Div(C,i+1);
//        Print(C);
    }
    Print(C);
    return 0;
}