HDU. 5334. Virtual Participation(构造)

题目链接

网上这题题解都是远古时代的了... 很多不太靠谱。不过dls这课件也是远古-的了（但还加新题好良心）

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\(Description\)
给定\(K\)。构造一个字符集大小没有限制、长度不超过\(10^5\)的字符串，使得不同的子串个数恰好为\(K\)。
\(K\leq 10^9\)。

\(Solution\)
做法1：
考虑简单的\(\begin{matrix}\underbrace{111...1}\\a_1个\end{matrix}\begin{matrix}\underbrace{222...2}\\a_2个\end{matrix}\begin{matrix}\underbrace{333....}\\a_3个..\end{matrix}\)，\(\sum a_i=n\)，则不同子串数为：\(C_{n+1}^2-\sum_{a_i\geq 2} C_{a_i}^2\)。
不妨先求出最小的\(n\)使得\(C_{n+1}^2\geq K\)。
令\(x=C_{n+1}^2-K\)，有一个结论是“任何一个数可由最多三个三角数/三角形数构成”，所以从大到小找出构成\(x\)的\(C_{a_i}^2\ (a_i\geq 2)\)即可。剩下\(L-\sum a_i\)的数直接补\(4\ 5\ 6\ 7\ 8...\)。

网上有个题解是从小到大找，似乎是会超过三个的（不满足结论）。

细节：\(K\)较小如\(K=4\)时（实测只有\(K=4\)或\(K=16\)），\(\sum a_i\)会大于\(n\)（因为\(C_n^2\)增长不够快还是？）。所以\(K\)较小时需特判，直接输出\(K\)个\(1\)就ok。

做法2：
直接考虑构造\(\begin{matrix}\underbrace{111...1}\\a个\end{matrix}\begin{matrix}\underbrace{222...2}\\b个\end{matrix}\begin{matrix}\underbrace{111...1}\\c个\end{matrix}\)，令\(a\geq c\)，则子串数为\(ab+bc+ac+a+b\)。
条件为\(ab+bc+ac+a+b=K\)即\((a+c+1)(b+c+1)=K+(c+1)^2\)，枚举\(c+1\)和\(a\)，保证\(a\geq c\)且\(a+b+c\leq 10^5\)即可找到解。
\(K\)较大的时候，这个枚举效率似乎就不如做法1了。

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//124MS	1384Kb
#include <bits/stdc++.h>
#define pc putchar
#define pb emplace_back
typedef long long LL;
const int N=1e5+5;

int main()
{
	int K;
	while(~scanf("%d",&K))
	{
		if(K<=1000)//(K==4||K==16)
		{
			printf("%d\n",K);
			for(int i=1; i<=K; ++i) printf("%d%c",1," \n"[i==K]);
			continue;
		}
		int l=1,r=44721,mid;
		while(l<r)
			if(mid=l+r>>1,mid*(mid+1)/2>=K) r=mid;
			else l=mid+1;

		int n=l,x=n*(n+1)/2-K;
		std::vector<int> vec;
		while(x)
		{
			int l=1,r=sqrt(2*x)+1,mid,ans=1;
			while(l<=r)
				if(mid=l+r>>1,mid*(mid-1)/2<=x) ans=mid,l=mid+1;
				else r=mid-1;
			vec.pb(ans), x-=ans*(ans-1)/2;
		}
		int now=1,f=0; printf("%d\n",n);
		for(auto t:vec)
		{
			for(int i=1; i<=t; ++i)
				if(f) printf(" %d",now);
				else f=1, printf("%d",now);
			++now, n-=t;
		}
		while(n--)
			if(f) printf(" %d",now++);
			else f=1, printf("%d",now++);
		pc('\n');
	}

	return 0;
}