区间树 学习笔记

目录

• Interval Tree（区间树）
  • 实现的功能
  • 构造
  • 查询包含点\(p\)的区间
  • 查询与给定区间相交的所有区间
  • 扩展到高维
  • 应用

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Interval Tree（区间树）

网上好多人把区间树当成线段树。。线段树就叫Segment Tree好吧。几乎只有两篇（现在三篇了）和wiki是真的（也都没有具体的代码）。建议直接看wiki：https://en.wikipedia.org/wiki/Interval_tree （pdf: 链接：https://share.weiyun.com/3WXYiU6b 密码：5c75zn）
https://blog.csdn.net/qiaojialin/article/details/78213061
https://www.cnblogs.com/jcli/p/4574824.html

但是这个东西，没人知道不是没有道理的，是真的，没用。

Interval Tree大概分为三种：Centered Interval Tree、Augmented Tree、Medial- or Length-oriented Tree。下面说的为Centered Interval Tree。

实现的功能

给定\(n\)个区间(线段)。对于询问给定的一个区间或点，可以在\(O(\log n+m)\)时间内求出与询问区间相交/包含询问点的所有区间（\(m\)是答案区间的数量）。
构造：\(O(n\log n)\)；空间复杂度：\(O(4n)\)。

构造

区间树（Centered Interval Tree）是一个二叉树（上面csdn那篇写错了）。
依据所有线段确定一个中间点\(x_{center}\)。设每个区间的端点为\(l,r\)。对于\(r<x_{center}\)的区间分到左子树中构造；\(l>x_{center}\)的区间分到右子树中继续构造；剩下的就是包含\(x_{center}\)的区间，分别按\(l\)从小到大、\(r\)从大到小排序后的两种序列存在当前节点中。
也就是每个节点包含五个信息（原文比较清楚）

• A center point（\(x_{center}\)）
• A pointer to another node containing all intervals completely to the left of the center point（\(lson\)）
• A pointer to another node containing all intervals completely to the right of the center point（\(rson\)）
• All intervals overlapping the center point sorted by their beginning point（以下记为\(S_a\)）
• All intervals overlapping the center point sorted by their ending point（以下记为\(S_b\)）

\(x_{center}\)的选取要保证划分到左右子树中的区间数各不超过\(n/2\)，所以可以取所有端点的中位数作\(x_{center}\)（可以用nth_element做到\(O(n)\)）。
想一个\(\log\)建树好像是有点麻烦...

查询包含点\(p\)的区间

从根节点开始，若\(p<x_{center}\)，则查询当前节点及左子树；若\(p>x_{center}\)，查询当前节点及右子树；否则\(p=x_{center}\)，当前节点所有区间就是答案。
查询一个节点时，若\(p<x_{center}\)则该节点所有区间的\(r>p\)，所以只需枚举\(S_a\)（按左端点排好序）中的区间就可以找到包含\(p\)的所有区间。
所以复杂度\(O(\log n+m)\)。

查询与给定区间相交的所有区间

设询问区间为\([q_l,q_r]\)。它与原有区间\([l,r]\)相交有两种可能：\(l\)、\(r\)至少有一个点在\([q_l,q_r]\)中；\([l,r]\)完全包含\([q_l,q_r]\)。
第一种情况，可以建一棵线段树（csdn那篇用的B+树，没有必要吧），将每个区间插入到\(l,r\)两个位置去，每个节点存\(l\)或\(r\)在该节点区间内的所有区间。查询时区间查\([q_l,q_r]\)即可（注意去重，可以合并时归并方便去重，也可以打标记）。复杂度\(O(n\log n),O(\log n+m)\)。
第二种情况，建一个Interval Tree。用\([q_l,q_r]\)中任意一点\(p\)求与\(p\)相交的所有区间，然后判断这些区间是否包含\([q_l,q_r]\)。这些区间一定也是答案区间（有可能与情况一重复），所以复杂度仍是\(O(\log n+m)\)。

扩展到高维

对于\(N\)维“区间”的查询依旧可以用Interval Tree。
基本同查询与给定区间相交的所有区间。首先建一个\(N\)维Range Tree存所有“区间”，对于每次查询先找出存在某个点 在给定\(N\)维询问区间内 的所有区间，即第一种情况。
对于第二种情况，建\(N\)棵Interval Tree解决每一维，\(N\)维答案的交集就是最终答案。

那个\(N\)维Range Tree，我以为是什么神奇的东西，原来就是。。\(N\)维线段树（线段树套线段树套线段树...）。。所以复杂度是\(O(\log^{N}n+N\log n+Nm)\)的。
那个\(N\)维Range Tree可能可以用K-D Tree写。

应用

挺...蠢局限的。
首先它的作用可以用离线+树状数组/二维线段树实现，可能用到的情况是：强制在线并卡\(\log^2n\)算法。其次它复杂度与答案区间数有关，需要题目保证\(m\)不大，不能任意询问。
例题：2020-2021 ICPC Brazil Subregional Programming Contest. M. Machine Gun（1.2s来卡\(\log^2n\)的强制在线还就一主席树题够蠢的）