猫树 学习笔记

Ref: https://immortalco.blog.uoj.ac/blog/2102

---

猫树

解决无修改序列区间查询问题。预处理\(O(n\log n)\)，询问\(O(1)\)，空间复杂度\(O(n\log n)\)（假设合并信息复杂度为\(O(1)\)）。

将原序列长度扩展成\(2^n\)，用堆式存储（\(rt\)的左(右)儿子为\(rt*2+0(1)\)）建一棵线段树。记\(pos[p]\)表示表示\(p\)位置的叶子节点下标。
区间\([l,r]\)对应的节点，即\(pos[l],pos[r]\)的\(LCA\)，由堆式存储的性质可以直接用\(pos[l],pos[r]\)二进制表示的\(LCP\)求得，即pos[l]>>Log2(pos[l]^pos[y])或pos[l]/(pos[l]^pos[r])（深度即节点下标取\(\log_2\)）。
然后对每个节点\([l,r]\)，可以像分治一样处理过\(mid\)的答案。然后就可以以\(O(合并信息)\)的复杂度查询一次啦。
so猫树的本质就是将离线分治过程预处理出来（可以解决强制在线问题）。

不过在简单题里，和RMQ相比我好像...看不出区别... 难的题又不会做，所以，就不写代码了，随便记记。
猫树的数组可以用\(val[mxdep][N]\)表示。

---

例题

NAND
给出一个序列，多次询问某个数\(x\)对给定区间中所有数按顺序依次NAND（与非）的结果。
按位处理，然后每个节点预处理区间中每个位置该位为\(0/1\)时到\(mid\)会变成什么。询问\(O(1)\)合并。