容斥 反演 学习笔记

容斥 反演 学习笔记

Tags: 数学，数论

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目录

• 容斥 反演 学习笔记
  • 最基本的容斥
  • 更一般的容斥
  • 二项式反演
  • 斯特林反演
  • 莫比乌斯反演

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参考：
https://blog.csdn.net/werkeytom_ftd/article/details/74701513
https://www.luogu.org/blog/KingSann/chu-tan-rong-chi-yuan-li
https://ac.nowcoder.com/discuss/184169?type=101&order=0&pos=10&page=1

这里只是简单整理一下，方便复习。（也没多少东西... 因为没时间补了）
也可以看这里。

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最基本的容斥

有\(n\)种属性，若干个物品，每个物品可能有这\(n\)种属性的若干种。假设我们可以容易地计算出\(f(S)\)表示属性中至少包含\(S\)集合的物品个数。求至少有\(1\)种属性的物品个数。（就是最经典的模型，有三科语数英，已知语数英各有多少人满分，语数、数英、语英分别有多少人同时满分，有多少人三科都满分，求至少有一科满分的人有多少）
不知道为什么反正我们知道，答案是\(\sum_{s\in S}(-1)^{|s|+1}f(s)\)（\(s\)为所有科目的子集，\(f(s)\)为\(s\)中所有科目都满分的人数）。
考虑它为什么是对的。对于一个有\(n\)种属性的物品，当\(n=0\)时，显然不会被计算。我们需要证明，\(n>0\)时，它会被恰好计算一次。
不难发现在枚举\(i\)种属性（大小为\(i\)的\(s\)）时，它会被计算\(C_n^i\)次。所以它被统计的次数\(=\sum_{i=1}^nC_n^i(-1)^{i+1}=1\)（把一个\(-1\)提出来，补一个\(C_n^0\)，二项式定理一下）。

更一般的容斥

有\(n\)种属性，若干物品。假设我们可以容易地计算出，\(g(S)\)表示属性包含\(S\)集合的物品个数。且给定\(w(k)\)表示，当物品拥有\(k\)个属性时它的价值是多少。求所有物品的价值和。
我们需要确定一个容斥系数\(f(k)\)，使得\(Ans=\sum_{s\in S}g(s)f(|s|)\)。
同上，考虑令每个物品被算入的贡献等于我们想要的数。即对于一个拥有\(k\)种属性的物品，需要满足

\[\sum_{i=1}^kC_k^if(i)=w(k) \]

\(f(i)\)是可以递推的。假设已知\(f(1)...f(k-1)\)，

\[\sum_{i=1}^kC_k^if(i)=w(k)\ \Rightarrow\ f(k)=w(k)-\sum_{i=1}^{k-1}C_k^if(i) \]

复杂度是\(O(n^2)\)的。
把阶乘展开发现大概能写成一个卷积形式，可以多项式求逆做到\(O(n\log n)\)。也可以反演去推。（见上面链接）
当然大部分题中是用\(O(n^2)\)/手推来找规律算的。

例题：“玲珑杯” 线上赛 Round#17 B 当咸鱼也要按照基本法，4.27模拟赛 A。
下面是第一道例题：
\(Description\)
给定\(m\)个数\(A_i\)和\(n\)。求\(1\sim n\)中有多少个数能被奇数个\(A_i\)整除。
\(T\leq 1000\)组数据，\(n\leq10^5,\ m\leq15\)。
\(Solution\)
至少整除某个\(A_i\)集合的数有多少个很好算，所以考虑容斥。设容斥系数是\(f(i)\)，答案是\(\sum_{s\in S}f(|s|)\lfloor\frac{n}{lcm(s)}\rfloor\)。
对于被\(k\)个数整除的数，有\(\sum_{i=1}^kC_k^if(i)=k\ \text{mod}\ 2\)。可以\(O(m^2)\)递推或者打表得出\(f(i)\)（当然有规律是\(f(i)=(-2)^{i-1}\ (i\neq0)\)）。然后就做完啦。

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下面只是一些要背的式子

二项式反演

\[f(n)=\sum_{i=0}^nC_n^ig(i)\ \Leftrightarrow\ g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}C_n^if(i) \]

例题：[BZOJ3622]已经没有什么好害怕的了（我没补），NCPC2018 K.King's Colors。

斯特林反演

\[f(n)=\sum_{i=0}^n{n\brace i}g(i)\ \Leftrightarrow\ g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}f(i) \]

例题：[BZOJ4671]异或图，雅礼集训18.1.16 方阵。

莫比乌斯反演

\[F(d)=\sum_{d\mid n}f(d)\ \Leftrightarrow\ f(d)=\sum_{d\mid n}\mu(\frac nd)F(n)\\F(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\ \Leftrightarrow\ f(n)=\sum_{d\mid n}\mu(\frac nd)F(d) \]