洛谷.3676.小清新数据结构题(树链剖分 树状数组)

洛谷

又来写水题啦。（最近做的明明都没多少难度，洛谷评级真是迷）

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假设固定以\(1\)为根，没有换根。令\(s_i\)表示\(i\)子树的点权和。
修改点\(u\)，显然只会影响\(path(1,u)\)上的点的\(s_i\)。别去考虑单个点贡献的变化，直接考虑整条路径对答案的贡献变化。
把赋值变成增加\(v\)，那么整条路径的贡献变化为：

\[\sum\limits_{i\in path(1,u)}(s_i+v)^2-\sum\limits_{i\in path(1,u)}s_i^2=2v\sum\limits_{i\in path(1,u)}s_i+v^2\times num_{path(1,u)} \]

维护一个\(ans_1\)表示以\(1\)为根时的答案，预处理出来后直接加上这个贡献。
需要维护根到某点的路径上\(s_i\)的和，树剖/LCT即可。

考虑换根成\(rt\)。显然\(s_i\)被影响的点还是只有\(path(1,u)\)上的点。把\(path(1,u)\)上的点依次编号\(1,2,...,k\)。
此时的答案：（\(s_1\)即整棵子树的和，\(s_i'\)为换根后的\(s_i\)，此时\(s_k'\)即整棵子树的和）

\[\begin{aligned}ans_u&=ans_1-\sum_{i=1}^ks_i^2+\sum_{i=1}^{k-1}(s_1-s_{i+1})^2+s_k'^2\\&=ans_1-s_1^2+s_1^2+\sum_{i=2}^k(s_1^2-2s_1s_i)\\&=ans_1+(k-1)s_1^2-2s_1\sum_{i=2}^ks_i\\&=ans_1+(k+1)s_1^2-2s_1\sum_{i=1}^ks_i\end{aligned} \]

同样维护出根到某点的路径和就可以惹。

树剖不需要套线段树，区间修改区间查询的树状数组即可。

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#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
#define MAXIN 500000
//#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
typedef long long LL;
const int N=2e5+5;

int Enum,H[N],nxt[N<<1],to[N<<1],val[N],sum[N],fa[N],dep[N],sz[N],son[N],top[N],L[N],R[N];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
struct BIT
{
	int n,t1[N]; LL t2[N];
	#define lb(x) (x&-x)
	inline void Modify2(int p,int v)
	{
		for(LL v2=1ll*p*v; p<=n; p+=lb(p)) t1[p]+=v, t2[p]+=v2;
	}
	inline void Modify(int l,int r,int v)
	{
		Modify2(l,v), Modify2(r+1,-v);
	}
	inline LL Query2(int x)
	{
		LL res1=0,res2=0;
		for(int p=x; p; p^=lb(p)) res1+=t1[p], res2+=t2[p];
		return res1*(x+1)-res2;
	}
	inline LL Query(int l,int r)
	{
		return Query2(r)-Query2(l-1);
	}
}T;

inline int read()
{
	int now=0,f=1;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=='-'&&(f=-1),c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-48,c=gc());
	return now*f;
}
inline void AE(int u,int v)
{
	to[++Enum]=v, nxt[Enum]=H[u], H[u]=Enum;
	to[++Enum]=u, nxt[Enum]=H[v], H[v]=Enum;
}
void DFS1(int x)
{
	int mx=0; sz[x]=1;
	for(int i=H[x],v; i; i=nxt[i])
		if((v=to[i])!=fa[x])
			fa[v]=x, dep[v]=dep[x]+1, DFS1(v), sz[x]+=sz[v], sum[x]+=sum[v], sz[v]>mx&&(mx=sz[v],son[x]=v);
}
void DFS2(int x,int tp)
{
	static int Index=0;
	top[x]=tp, L[x]=++Index;
	if(son[x])
	{
		DFS2(son[x],tp);
		for(int i=H[x],v; i; i=nxt[i])
			if((v=to[i])!=fa[x]&&v!=son[x]) DFS2(v,v);
	}
	R[x]=Index;
}
void Modify(int x,int v)
{
	while(top[x]!=1) T.Modify(L[top[x]],L[x],v), x=fa[top[x]];
	T.Modify(1,L[x],v);
}
LL Query(int x)
{
	LL res=0;
	while(top[x]!=1) res+=T.Query(L[top[x]],L[x]), x=fa[top[x]];
	return res+T.Query(1,L[x]);
}

int main()
{
	int n=read(),Q=read(); T.n=n;
	for(int i=1; i<n; ++i) AE(read(),read());
	for(int i=1; i<=n; ++i) sum[i]=val[i]=read();
	dep[1]=1, DFS1(1), DFS2(1,1);

	LL Ans=0;
	for(int i=1; i<=n; ++i) Ans+=1ll*sum[i]*sum[i], T.Modify(L[i],L[i],sum[i]);
	for(int x,y,s1=sum[1]; Q--; )
		if(read()==1) x=read(), y=read()-val[x], Ans+=2ll*y*Query(x)+y*y*dep[x], Modify(x,y), val[x]+=y, s1+=y;//更新s1！
		else x=read(), printf("%lld\n",Ans+1ll*(dep[x]+1)*s1*s1-2ll*s1*Query(x));

	return 0;
}