计算几何基础 模板
计算几何拖了这么久，终于拖到省选前了。
emm不求能A题，只求写暴力。
参考：
https://oi.men.ci/geometry-notes/
https://www.cnblogs.com/fly-in-milkyway/p/10569895.html
https://blog.csdn.net/clover_hxy/article/details/53966405
https://www.cnblogs.com/lstoi/p/9791654.html
https://blog.csdn.net/qq_34921856/article/details/80690822
ps: 刚开始写的代码，读入用的p[i]=(Point){read(),read()}，因为初始化了构造函数所以这么读进去横纵坐标可能是反的。。
有些题并没有影响所以以前的就不改了。
基础部分
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
typedef long long LL;
const int N=1e5+5;
const double eps=1e-10;
inline int dcmp(double x) {return fabs(x)<eps?0:x<0?-1:1;}
struct Vec
{
double x,y;
Vec(double x=0,double y=0):x(x),y(y) {}
Vec operator +(const Vec &a)const {return Vec(x+a.x, y+a.y);}
Vec operator -(const Vec &a)const {return Vec(x-a.x, y-a.y);}
Vec operator *(const double p)const {return Vec(x*p, y*p);}
double operator *(const Vec &a)const {return x*a.y-y*a.x;}//cross product
bool operator <(const Vec &a)const {return x<a.x||(x==a.x&&y<a.y);}
bool operator ==(const Vec &a)const {return !dcmp(x-a.x)&&!dcmp(y-a.y);}
double Norm() {return x*x+y*y;}//范数
double Length() {return sqrt(x*x+y*y);}//模长
double Dot(Vec a) {return x*a.x+y*a.y;}//dot product
double Angle(Vec a) {return acos(Dot(a)/Length()/a.Length());}//两向量夹角
Vec Normal() {double t=Length(); return Vec(-y/t,x/t);}//单位法向量
Vec Rotate(double rad) {return Vec(x*cos(rad)-y*sin(rad),x*sin(rad)+y*cos(rad));}//顺时针旋转rad度
};
typedef Vec Point;
struct Line
{
Point a; Vec v;
Line(Point a,Vec v):a(a),v(v) {}
bool OnLine(const Point &p) {return !dcmp((a-p)*v);}//!dcmp((a-p)*(b-p))
bool OnSegment(const Point &p) {return !dcmp((a-p)*v)&&dcmp((a-p).Dot(a+v-p))<=0;}//PA*PB<=0
int Relation(const Line &l)//直线之间的关系 0:平行 1:相交 2:重合(无数个交点)
{
return dcmp(v*l.v)?1:dcmp(v*(a-l.a))?0:2;
}
Point Intersection(const Line &l)//直线交点
{
return a+v*((l.v*(a-l.a))/(v*l.v));//注意方向（叉积的正负）
}
};
inline bool cmp(const Point &a,const Point &b) {return a.x==b.x?a.y<b.y:a.x<b.x;}
struct Polygon
{
int sk[N];
std::vector<Point> ps;
bool Include(const Point &p)//点在多边形内
{
int cnt=0;
for(int i=0,lim=ps.size(); i<lim; ++i)
{
const Point a=ps[i],b=ps[i+1==lim?0:i+1];
if(Line(a,b-a).OnSegment(p)) return 1;
double d1=a.y-p.y,d2=b.y-p.y,tmp=(a-p)*(b-p);
if((tmp<0&&d1<0&&d2>=0)||(tmp>0&&d1>=0&&d2<0)) ++cnt;
}
return cnt&1;
}
double Area()//多边形有向面积（逆时针为正，顺时针为负）
{
double res=0;
for(int i=1,lim=ps.size(); i+1<lim; ++i)
res+=(ps[i]-ps[0])*(ps[i+1]-ps[0]);
return res*0.5;
}
int Convex()//求凸包 存在sk[]里
{
std::sort(ps.begin(),ps.end(),cmp);
int top=1,n=ps.size(); sk[1]=0;
for(int i=1; i<n; ++i)
{
while(top>=2 && (ps[sk[top]]-ps[sk[top-1]])*(ps[i]-ps[sk[top-1]])<=0) --top;
sk[++top]=i;
}
int k=top;
for(int i=n-2; ~i; --i)
{
while(top>k && (ps[sk[top]]-ps[sk[top-1]])*(ps[i]-ps[sk[top-1]])<=0) --top;
sk[++top]=i;
}
return top;
}
};
int main()
{
return 0;
}
凸包
\(Granham's\ Scan\)：
- 选出所有点中横坐标最小（如果相同取纵坐标最小的）的点\(x\)，将所有点按与\(x\)的极角序排序。
- 将\(x\)放到栈里，跑一遍单调栈求凸包。
这个做法似乎精度不太好。
另一种做法是：
- 将所有点按横坐标为第一关键字，纵坐标为第二关键字排序。
- 将\(1\)号点放到栈里，单调栈求一遍下凸壳。
- 保留原先栈中的元素，单调栈求一遍上凸壳。
复杂度都是\(O(n\log n)\)。
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 500000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
typedef long long LL;
const int N=1e4+6;
int sk[N];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
struct Vec
{
double x,y;
Vec(double x=0,double y=0):x(x),y(y) {}
Vec operator +(const Vec &a)const {return Vec(x+a.x, y+a.y);}
Vec operator -(const Vec &a)const {return Vec(x-a.x, y-a.y);}
Vec operator *(const double a)const {return Vec(x*a, y*a);}
bool operator <(const Vec &a)const {return x<a.x||(x==a.x&&y<a.y);}
double operator *(const Vec &a)const {return x*a.y-y*a.x;}
double Length() {return sqrt(x*x+y*y);}
}p[N];
typedef Vec Point;
inline double read()
{
double x=0,y=0.1,f=1;register char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=='-'&&(f=-1),c=gc());
for(;isdigit(c);x=x*10+c-48,c=gc());
for(c=='.'&&(c=gc());isdigit(c);x+=y*(c-48),y*=0.1,c=gc());
return x*f;
}
double Convex(int n)
{
std::sort(p+1,p+1+n);
int top=1; sk[1]=1;
for(int i=2; i<=n; ++i)
{
while(top>1 && (p[sk[top]]-p[sk[top-1]])*(p[i]-p[sk[top-1]])<=0) --top;
sk[++top]=i;
}
int m=top;
for(int i=n-1; i; --i)
{
while(top>m && (p[sk[top]]-p[sk[top-1]])*(p[i]-p[sk[top-1]])<=0) --top;
sk[++top]=i;
}
double ans=0;
for(int i=1; i<top; ++i) ans+=(p[sk[i+1]]-p[sk[i]]).Length();
return ans;
}
int main()
{
int n=read();
for(int i=1; i<=n; ++i) p[i]=(Point){read(),read()};
printf("%.2f\n",Convex(n));
return 0;
}
极角排序
一道例题。
旋转卡壳
求四边形最大面积，枚举一条对角线，求对角线两边最大三角形面积即可。
暴力是\(n^3\)的，容易发现固定对角线一个端点，另一个端点移动时两边最远点的移动也是单调的。所以用旋转卡壳优化一下就是\(O(n^2)\)啦。
旋转卡壳还有很多用途，见最上面的链接。
经常要找和当前直线平行的直线切在哪里，注意用底相同，平行线之间高也相同，以及叉积有正负的性质，求叉积。
求凸多边形最小面积外接矩形，找三个边界点时（枚举下边界点\(d\)），上边界点\(u\)可以如上所说用叉积判（判断\((p_u-p_d)*(p_{d+1}-p_d)\)与\((p_{u+1}-p_d)*(p_{d+1}-p_d)\)的大小关系，比它小则\(u+1\)）。
点积可以求向量在另一个向量上的映射长度，所以右边界点\(r\)可以用点积求（在\(p_{d+1}-p_d\)上映射长度最长的）。
同理，左边界点\(l\)也用点积求，不过注意刚开始要将\(l\)赋值为\(r\)。
[BZOJ1069]的代码：
//884kb 120ms
#include <cstdio>
#include <algorithm>
typedef long long LL;
const int N=2005;
struct Vec
{
double x,y;
Vec(double x=0,double y=0):x(x),y(y) {}
Vec operator +(const Vec &a)const {return Vec(x+a.x, y+a.y);}
Vec operator -(const Vec &a)const {return Vec(x-a.x, y-a.y);}
double operator *(const Vec &a)const {return x*a.y-y*a.x;}
bool operator <(const Vec &a)const {return x<a.x||(x==a.x&&y<a.y);}
}p[N],sk[N];
int main()
{
int n; scanf("%d",&n);
for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
std::sort(p+1,p+1+n);
int top=1; sk[1]=p[1];
for(int i=2; i<=n; ++i)
{
while(top>1 && (sk[top]-sk[top-1])*(p[i]-sk[top-1])<=0) --top;
sk[++top]=p[i];
}
int k=top;
for(int i=n-1; i>1; --i)
{
while(top>k && (sk[top]-sk[top-1])*(p[i]-sk[top-1])<=0) --top;
sk[++top]=p[i];
}
double ans=0; sk[top+1]=sk[1];
#define Inc(x) (x+1>top?1:x+1)
for(int i=1; i+2<=top; ++i)
{
int x=i+1,y=i+3>top?1:i+3;
for(int j=i+2; j<=top; ++j)
{
while((sk[x+1]-sk[i])*(sk[j]-sk[i])>(sk[x]-sk[i])*(sk[j]-sk[i])) x=Inc(x);
while((sk[j]-sk[i])*(sk[y+1]-sk[i])>(sk[j]-sk[i])*(sk[y]-sk[i])) y=Inc(y);
ans=std::max(ans,(sk[x]-sk[i])*(sk[j]-sk[i])+(sk[j]-sk[i])*(sk[y]-sk[i]));
}
}
printf("%.3f\n",ans*0.5);
return 0;
}
半平面交
咕咕了。
最小圆覆盖
具体见这里。
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
#define MAXIN 500000
//#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
typedef long long LL;
const int N=1e6+5;
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
struct Vec
{
double x,y;
Vec(double x=0,double y=0):x(x),y(y) {}
Vec operator +(const Vec &a)const {return Vec(x+a.x, y+a.y);}
Vec operator -(const Vec &a)const {return Vec(x-a.x, y-a.y);}
Vec operator *(const double a)const {return Vec(x*a, y*a);}
double operator *(const Vec &a)const {return x*a.y-y*a.x;}
Vec Rotate_90()const {return Vec(y,-x);}
double len()const {return sqrt(x*x+y*y);}
double len2()const {return x*x+y*y;}
}p[N];
typedef Vec Point;
struct Line
{
Point p; Vec v;
Line(Point p,Vec v):p(p),v(v) {}
Line PerpendicularBisector()const//垂直平分线=-=
{
return Line((p+p+v)*0.5,v.Rotate_90());
}
Point Intersection(const Line &l)const
{
return p+v*((l.v*(p-l.p))/(v*l.v));
}
};
inline double read()
{
double x=0,y=0.1,f=1;register char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=='-'&&(f=-1),c=gc());
for(;isdigit(c);x=x*10+c-48,c=gc());
for(c=='.'&&(c=gc());isdigit(c);x+=y*(c-48),y*=0.1,c=gc());
return x*f;
}
Point CalcCircle(const Point &a,const Point &b,const Point &c)
{
// Line A=Line(a,b-a).PerpendicularBisector(),B=Line(a,c-a).PerpendicularBisector();
Line A=Line((a+b)*0.5,(b-a).Rotate_90()),B=Line((a+c)*0.5,(c-a).Rotate_90());
return A.Intersection(B);
}
void Solve(const int n)
{
srand(330), std::random_shuffle(p+1,p+1+n);//话说这个srand不够随机啊= =
Point O=p[1]; double R=0;
for(int i=2; i<=n; ++i)
if((p[i]-O).len2()>R)
{
O=p[i], R=0;
for(int j=1; j<i; ++j)
if((p[j]-O).len2()>R)
{
O=(p[i]+p[j])*0.5, R=(p[i]-O).len2();
for(int k=1; k<j; ++k)
if((p[k]-O).len2()>R)
O=CalcCircle(p[i],p[j],p[k]), R=(p[k]-O).len2();
}
}
printf("%.2f %.2f %.2f\n",O.x,O.y,sqrt(R));
}
int main()
{
int n=read();
for(int i=1; i<=n; ++i) p[i].x=read(),p[i].y=read();
// for(int i=1; i<=n; ++i) p[i]=(Point){read(),read()};//声明构造函数之后再这么用，貌似。。= = 不同编译器结果不同。。
Solve(n);
return 0;
}
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
很久以前的奇怪但现在依旧成立的签名
attack is our red sun $$\color{red}{\boxed{\color{red}{attack\ is\ our\ red\ sun}}}$$ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
很久以前的奇怪但现在依旧成立的签名
attack is our red sun $$\color{red}{\boxed{\color{red}{attack\ is\ our\ red\ sun}}}$$ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
