Codeforces.24D.Broken robot(期望DP 高斯消元)

题目链接

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\(Description\)
有一个\(n\times m\)的网格，初始在\((x,y)\)，每一步等概率不动或向上下左右走（如走了越界则不动）。求走到最后一行结束的期望步数。
\(n,m\leq 1000\)。

\(Solution\)
可能这儿的会更易懂一些（表示不想再多写了）。

令\(f[i][j]\)表示从\((i,j)\)到达最后一行的期望步数。那么有\(f[n][j]=0\)。
若\(m=1\)，答案是\(2(n-x)\)。
否则，显然有

\[f[i][1]=\frac13(f[i+1][1]+f[i][1]+f[i][2])+1\\ f[i][j]=\frac14(f[i+1][j]+f[i][j]+f[i][j-1]+f[i][j+1])+1,\ 1<j<m\\ f[i][m]=\frac13(f[i+1][m]+f[i][m]+f[i][m-1])+1 \]

别忘了+1→_→
写成矩阵的形式，

\[2f[i][1]-f[i][2]=f[i+1][1]+3\\ -f[i][j-1]+3f[i][j]-f[i][j+1]=f[i+1][j]+4\\ -f[i][m-1]+2f[i][m]=f[i+1][m]+3 \]

然后就可以一行一行高斯消元了。
注意到矩阵是个三对角矩阵，我们可以\(O(n)\)完成消元。
具体就是用第\(i\)行的两个变量消掉第\(i+1\)行的第\(i\)个变量，最后到第\(m\)行可以直接算出\(f[i][m]\)，代回去。
第一行有\(2f[1]-f[2]=g[1]\)，消掉第二行的\(f[1]\)变成\(2.5f[2]-f[3]=g[2]+0.5g[1]\)，系数改成\(2\)即\(2f[2]-0.8f[3]=0.8(g[2]+0.5g[1])\)，重复\(m-2\)次即可。最后会得到\(m-1\)个\(2f[i]+a_if[i+1]=b_i\)，用第\(m\)行求出\(f[m]\)，迭代回去。

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//62ms	7700KB
#include <cstdio>
#include <algorithm>
typedef long long LL;
const int N=1005;

double A[N],B[N],f[N][N];

int main()
{
	int n,m,x,y; scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&x,&y);
	if(m==1) return printf("%.5f\n",2.0*(n-x)),0;
	for(int i=n-1; i>=x; --i)
	{
		A[1]=-1, B[1]=f[i+1][1]+3;
		for(int j=2; j<m; ++j)
		{
			A[j]=-1, B[j]=4+f[i+1][j]+0.5*B[j-1];
			double t=2/(3+0.5*A[j-1]); A[j]*=t, B[j]*=t;
		}
		B[m]=f[i+1][m]+3+0.5*B[m-1], f[i][m]=B[m]/(2+0.5*A[m-1]);
		for(int j=m-1; j; --j) f[i][j]=(B[j]-f[i][j+1]*A[j])*0.5;
	}
	printf("%.5f\n",f[x][y]);

	return 0;
}