Bluestein's Algorithm

网上很少有人提到，写的也很简单，事实上就是很简单...

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\(Bluestein's\ Algorithm\)，用以解决任意长度\(DFT\)。

考虑\(DFT\)的形式：

\[\begin{aligned}y_k&=\sum_{i=0}^{n-1}a_i\omega_n^{ki}\\&=\sum_{i=0}^{n-1}a_i\omega_{2n}^{k^2+i^2-(k-i)^2}\\&=\omega_{2n}^{k^2}\sum_{i=0}^{n-1}a_i\omega_{2n}^{i^2}\omega_{2n}^{-(k-i)^2}\end{aligned} \]

注意到\(\sum\)是个卷积，可以用\(FFT/NTT\)计算。所以\(Bluestein\)的复杂度是\(O(n\log n)\)的。
具体：\(k-i\)可能是负的，所以对后一项右移\(n\)位，令\(f_i=a_i\omega_{2n}^{i^2},\ g_i=\omega_{2n}^{-(i-n)^2}\)，那么\(y_k=\omega_{2n}^{k^2}\sum_{i}f_ig_{n+k-i}=\omega_{2n}^{k^2}(f\times g)_{n+k}\)。

\(IDFT\)同理，可以直接令\(\omega_{2n}=\omega_{2n}^{-1}\)，代到\(DFT\)的式子里，也可以一样的推一下：

\[\begin{aligned}c_k&=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}a_i\omega_n^{-ki}\\&=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}a_i\omega_{2n}^{k^2+i^2-(k+i)^2}\\&=\frac{1}{n}\omega_{2n}^{k^2}\sum_{i=0}^{n-1}a_i\omega_{2n}^{i^2}\omega_{2n}^{-(k+i)^2}\end{aligned} \]

令\(f_i=a_i\omega_{2n}^{i^2},\ g_i=\omega_{2n}^{-(2n-1-i)^2}\)，那么\(c_k=\frac{1}{n}\omega_{2n}^{k^2}\sum_if_ig_{2n-1-k-i}=\omega_{2n}^{k^2}(f\times g)_{2n-1-k}\)。

上面是一般的做法（其实就是个\(trick\)），但是\(dls\)指出有更好一些的做法：
像这样写成平方需要\(\omega_{2n}\)（有些题可能不存在\(2n\)次单位根），就可以用：\(ij=\binom{i+j}{2}-\binom i2-\binom j2\)来替换：\(y_k=\omega_n^{-\binom k2}\sum_{i=0}^{n-1}a_i\omega_n^{-\binom i2}\omega_n^{\binom{i+j}{2}}\)。

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例题

事实上我觉得除了循环卷积需要任意长度\(DFT\)外，其它地方就用不到了...（应该是我做题少）

1. 正睿 青岛集训 Day4 A.智慧树

见这里。

2. BZOJ.1919.[CTSC2010]性能优化

也是循环卷积裸题...（做不出来不负责请找dls

3. HDU.4656.Evaluation

类似\(Bluestein\)的\(trick\)应用。题解见这里（我就咕咕咕了）。