Codeforces.348D.Turtles(容斥 LGV定理 DP)

题目链接

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\(Description\)

给定\(n*m\)的网格，有些格子不能走。求有多少种从\((1,1)\)走到\((n,m)\)的两条不相交路径。
\(n,m\leq 3000\)。

\(Solution\)

容斥，用总方案数减去路径一定相交的方案数。
怎么算呢？注意到两条相交的路径（一定）可以看做从\((1,2)\)到\((n,m-1)\)和从\((2,1)\)到\((n-1,m)\)的两条路径。总方案数也可以看做从\((1,2)\)到\((n-1,m)\)和从\((2,1)\)到\((n,m-1)\)的两条路径（如果有相交可以对称过去得到这样的两条路径）。
所以\((1,2)\)到\((n-1,m)\)的方案数，乘上\((2,1)\)到\((n,m-1)\)的方案数，减去，\((1,2)\)到\((n-1,m)\)的方案数，乘上\((2,1)\)到\((n-1,m)\)的方案数，就是答案了。
其实我也还是感觉有点迷...

其实有一个引理：Lindström–Gessel–Viennot lemma。
下面就粘attack的了。

这个定理是说点集\(A=\{a1,a2,…an\}\)到\(B=\{b1,b2,...,bn\}\)的不相交路径条数等于行列式

\[\begin{bmatrix}e(a_1, b_1) & e(a_1, b_2) & \dots & e(a_1, b_n) \\ e(a_2, b_1) & e(a_2, b_2) & \dots & e(a_2, b_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ e(a_n, b_1) & e(a_n, b_2) & \dots & e(a_n, b_n) \\ \end{bmatrix}\]

的值。其中\(e(x,y)\)表示从\(x\)到\(y\)的路径条数

定理的本质还是容斥。
本题，我们需要找到两条不相交的路径。注意到任何一对合法的路径一定可以表示为，一条从\((1,2)\)出发到\((n−1,m)\)，另一条从\((2,1)\)出发到\((n,m−1)\)。
那么选取\(A=\{(1,2)\ (2,1)\},B=\{(n−1,m)\ (n,m−1)\}\)，带入到上述定理即可求解。

事实上只用一遍DP就可以了（两个DP数组，分别表示从\((1,2)\)和\((2,1)\)出发，for到\((n,m)\)就可以了）。。
也可以加fread，懒得改了。

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//498ms	44000KB
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define mod 1000000007
#define Mod(x) x>=mod&&(x-=mod)
const int N=3005;

bool mp[N][N];

int Calc(int sx,int sy,int tx,int ty)
{
	static int f[N][N];
	memset(f,0,sizeof f);
	f[sx-1][sy]=1;//Init: f[sx][sy]=mp[sx][sy]==1;
	for(int i=sx; i<=tx; ++i)
		for(int j=sy; j<=ty; ++j)
			mp[i][j]?(f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1],Mod(f[i][j])):0;
	return f[tx][ty];
}

int main()
{
	int n,m; scanf("%d%d",&n,&m);
	char s[N];
	for(int i=1; i<=n; ++i)
	{
		scanf("%s",s+1);
		for(int j=1; j<=m; ++j) mp[i][j]=s[j]=='.';
	}
	printf("%I64d\n",(1ll*Calc(1,2,n-1,m)*Calc(2,1,n,m-1)%mod+mod-1ll*Calc(1,2,n,m-1)*Calc(2,1,n-1,m)%mod)%mod);

	return 0;
}