BZOJ.5461.[PKUWC2018]Minimax(DP 线段树合并)
\(Description\)
给定一棵\(n\)个点的有根树，\(1\)为根，每个点最多有两个子节点。
定义点\(x\)的权值为：若\(x\)为叶子，则在输入中给定；否则，其有\(p_x\)的概率是其子节点权值的最大值，有\(1-p_x\)的概率是其子节点权值的最小值。
设\(1\)号点权值有\(m\)种可能，其中权值第\(i\)小的为\(V_i\)，其概率为\(D_i\)，求\(\sum_{i=1}^miV_iD_i^2\)模998244353。
\(n\leq 3\times 10^5,\ w_i\leq 10^9\)。
\(Solution\)
令\(f[i][j]\)表示以\(i\)为根的子树，权值\(j\)作为根节点的概率。
设\(i\)的两棵子树分别为\(x,y\)，记\(p_a\)表示\(f[x][a]\)，\(p_a'\)表示\(f[y][a]\)，\(P_i\)表示给定的\(i\)取最大值作为权值的概率。
转移就是两棵树之间的权值组合，即以\(x\)子树中的\(a\)作为最小值的概率为\(p_a\times\sum\limits_{v>a}p_v'\times(1-P_i)\)，以\(x\)子树中的\(a\)作为最大值的概率为\(p_a\times\sum\limits_{v\leq a}p_v'\times P_i\)。
记\(s'=\sum\limits_{v>a}p_v'\)，\(\sum\limits_{v\leq a}p_v'\)就是\(1-s'\)。上面项加起来化简一下就是\(p_a\times(s'+P_i-2s'\times P_i)\)。
对于\(y\)子树中的\(a\)作为\(i\)节点的值的概率同理，是\(p_a'\times(s+P_i-2s\times P_i)\)。那\(f[i][a]\)就等于新的\(p_a,p_a'\)的和。
维护一下后缀和就是\(O(n^2)\)的了。
初始时每个叶节点只有一个初值，一不小心看到可以想到线段树合并就很简单了。
\(s,s'\)就是当前点的右边所有子树中的\(\sum p_v\)和\(\sum p_v'\)，合并的时候先合并右子树，累加一下所有叶节点处的\(p_v\)和\(p_v'\)就可以得到了。（当然\(s,s'\)在维护了区间和后也可以直接用个参数传下去。。见代码2）
当然不需要真访问到叶子处，维护一个区间和。
当\(x\)子树在当前节点有值而\(y\)子树不存在当前节点时（merge(x,y) x!=0 && y=0时），显然\(y\)对\(x\)当前节点的子树的贡献都统计过了，也就是\(x\)当前节点的子树内都会乘一个\(s'+P_i-2s'\times P_i\)，这个数不会变了，所以直接打个区间乘标记。顺便维护一个\(x\)子树内\(p_v\)的和\(sum[x]\)来直接得到该子树对\(s\)的贡献，即此时\(s\)+=\(sum[x]\)就可以统计所有子节点的\(p_v\)了。
x=0 && y!=0时同理。
复杂度\(O(n\log n)\)。
代码1：
//103008kb 4564ms
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
#define MAXIN 300000
//#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
#define mod 998244353
#define inv 796898467ll//inv(10000)
#define Mod(x) x>=mod&&(x-=mod)
#define Add(x,v) (x+=v)>=mod&&(x-=mod)
typedef long long LL;
const int N=3e5+5;
int root[N],P[N],ref[N],son[N][2];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
struct Segment_Tree
{
#define ls son[x][0]
#define rs son[x][1]
#define lson ls,l,m
#define rson rs,m+1,r
#define S N*19
int tot,rk,s1,s2,son[S][2],p[S],tag[S];
LL Ans;
#undef S
Segment_Tree() {tag[0]=1;}
#define Upd(x,v) p[x]=1ll*p[x]*v%mod, tag[x]=1ll*tag[x]*v%mod
void Insert(int &x,int l,int r,int pos)
{
x=++tot, p[x]=tag[x]=1;
if(l==r) return;
int m=l+r>>1;
pos<=m ? Insert(lson,pos) : Insert(rson,pos);
}
inline void PushDown(int x)
{
int l=ls,r=rs;
if(l) Upd(l,tag[x]);
if(r) Upd(r,tag[x]);
tag[x]=1;
}
int Merge(int x,int y,int P)
{
if(!x && !y) return 0;
if(!x)
{
Add(s2,p[y]);
int v=(s1+P-2ll*s1*P%mod+mod)%mod;//注意+mod放到后面
Upd(y,v);
return y;
}
if(!y)
{
Add(s1,p[x]);
int v=(s2+P-2ll*s2*P%mod+mod)%mod;
Upd(x,v);
return x;
}
if(tag[x]!=1) PushDown(x);
if(tag[y]!=1) PushDown(y);
rs=Merge(rs,son[y][1],P), ls=Merge(ls,son[y][0],P);
p[x]=p[ls]+p[rs], Mod(p[x]);
return x;
}
void GetAns(int x,int l,int r)
{
if(!p[x]) return;
if(l==r)
{
Ans+=1ll*(++rk)*ref[l]%mod*p[x]%mod*p[x]%mod;//++rk=l
return;
}
if(tag[x]!=1) PushDown(x);//...
int m=l+r>>1;
GetAns(lson), GetAns(rson);
}
}T;
inline int read()
{
int now=0;register char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=gc());
for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
return now;
}
void DFS(int x)
{
if(son[x][1])
{
DFS(son[x][0]), DFS(son[x][1]);
T.s1=0, T.s2=0, root[x]=T.Merge(root[son[x][0]],root[son[x][1]],P[x]);
}
else if(son[x][0]) DFS(son[x][0]), root[x]=root[son[x][0]];
}
int main()
{
static std::pair<int,int> A[N];
const int n=read();
for(int i=1,x; i<=n; ++i) x=read(), son[x][0]?son[x][1]=i:son[x][0]=i;
int cnt=0;
for(int i=1; i<=n; ++i)
if(son[i][0]) P[i]=inv*read()%mod;
else A[++cnt]=std::make_pair(read(),i);
std::sort(A+1,A+1+cnt);
for(int i=1; i<=cnt; ++i) ref[i]=A[i].first, T.Insert(root[A[i].second],1,cnt,i);
DFS(1), T.GetAns(root[1],1,cnt), printf("%lld\n",T.Ans%mod);
return 0;
}
代码2：
//105344kb 4528ms
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 300000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
#define mod 998244353
#define inv 796898467ll//inv(10000)
#define Mod(x) x>=mod&&(x-=mod)
#define Add(x,v) (x+=v)>=mod&&(x-=mod)
#define Add2(x,y) (x+y>=mod?x+y-mod:x+y)
typedef long long LL;
const int N=3e5+5;
int root[N],P[N],ref[N],son[N][2];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
struct Segment_Tree
{
#define ls son[x][0]
#define rs son[x][1]
#define lson ls,l,m
#define rson rs,m+1,r
#define S N*19
int tot,son[S][2],p[S],tag[S];
LL Ans;
#undef S
Segment_Tree() {tag[0]=1;}
#define Upd(x,v) p[x]=1ll*p[x]*v%mod, tag[x]=1ll*tag[x]*v%mod
void Insert(int &x,int l,int r,int pos)
{
x=++tot, p[x]=tag[x]=1;
if(l==r) return;
int m=l+r>>1;
pos<=m ? Insert(lson,pos) : Insert(rson,pos);
}
inline void PushDown(int x)
{
int l=ls,r=rs;
if(l) Upd(l,tag[x]);
if(r) Upd(r,tag[x]);
tag[x]=1;
}
int Merge(int x,int y,int s1,int s2,int P)
{
if(!x && !y) return 0;
if(!x)
{
int v=(s1+P-2ll*s1*P%mod+mod)%mod;//注意+mod放到后面
Upd(y,v);
return y;
}
if(!y)
{
int v=(s2+P-2ll*s2*P%mod+mod)%mod;
Upd(x,v);
return x;
}
if(tag[x]!=1) PushDown(x);
if(tag[y]!=1) PushDown(y);
ls=Merge(ls,son[y][0],Add2(s1,p[rs]),Add2(s2,p[son[y][1]]),P), rs=Merge(rs,son[y][1],s1,s2,P);
p[x]=p[ls]+p[rs], Mod(p[x]);
return x;
}
void GetAns(int x,int l,int r)
{
if(!p[x]) return;
if(l==r)
{
Ans+=1ll*l*ref[l]%mod*p[x]%mod*p[x]%mod;
return;
}
if(tag[x]!=1) PushDown(x);//...
int m=l+r>>1;
GetAns(lson), GetAns(rson);
}
}T;
inline int read()
{
int now=0;register char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=gc());
for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
return now;
}
void DFS(int x)
{
if(son[x][1])
{
DFS(son[x][0]), DFS(son[x][1]);
root[x]=T.Merge(root[son[x][0]],root[son[x][1]],0,0,P[x]);
}
else if(son[x][0]) DFS(son[x][0]), root[x]=root[son[x][0]];
}
int main()
{
static std::pair<int,int> A[N];
const int n=read();
for(int i=1,x; i<=n; ++i) x=read(), son[x][0]?son[x][1]=i:son[x][0]=i;
int cnt=0;
for(int i=1; i<=n; ++i)
if(son[i][0]) P[i]=inv*read()%mod;
else A[++cnt]=std::make_pair(read(),i);
std::sort(A+1,A+1+cnt);
for(int i=1; i<=cnt; ++i) ref[i]=A[i].first, T.Insert(root[A[i].second],1,cnt,i);
DFS(1), T.GetAns(root[1],1,cnt), printf("%lld\n",T.Ans%mod);
return 0;
}
很久以前的奇怪但现在依旧成立的签名
attack is our red sun $$\color{red}{\boxed{\color{red}{attack\ is\ our\ red\ sun}}}$$ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
