杜教筛的某道练习题

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\(Description\)

求$$\sum_{i=1}^n\varphi(i)*i$$

\(Solution\)

把\(f(x)=\sum_{i=1}^n\varphi(i)*i\)与\(g(x)=x\)做狄利克雷卷积并求前缀和，会得到：

\[\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}f(d)g(\frac id)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\varphi(d)*d*\frac id=\sum_{i=1}^ni^2 \]

再枚举\(T=\frac id\)：

\[\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\varphi(d)*d*\frac id=\sum_{T=1}^nT\sum_{d=1}^{\lfloor\frac nT\rfloor}\varphi(d)*d=\sum_{i=1}^ni^2 \]

比如\(T=\frac id=1\)时，满足条件的\(d\)有\(n\)个；当\(T=\frac id=2\)时，满足条件的\(d\)就有\(\lfloor\frac n2\rfloor\)个，且就是\(1\sim\lfloor\frac n2\rfloor\)。

然后移项，左边留着\(\sum_{i=1}^n\varphi(i)*i\)：

\[\sum_{i=1}^n\varphi(i)*i=\sum_{i=1}^ni^2-\sum_{T=2}^nT\sum_{d=1}^{\lfloor\frac nT\rfloor}\varphi(d)*d\\\Rightarrow S(n)=\sum_{i=1}^ni^2-\sum_{T=2}^nS(\frac nT) \]

总结：当遇到一些不好求前缀和的函数时，一般将其与一个易于求前缀和的函数进行狄利克雷卷积，得到另一个易于求前缀和的函数，然后通过简单的数学变换，得到可以递归的式子。

这道题也是这样的思路。