ZJOI2018 迷宫

我们简化的题意为：构造一个 \(m\) 进制下的自动机，使得其可以识别所有 \(K\) 的倍数。

我们可以轻易构造一个大小为 \(K\) 的自动机（按照模 \(K\) 进行分类）

我们考虑到部分节点是冗余的，将他们缩起来就可以得到答案。

换而言之，我们需要缩去这个自动机上所有从 \(x\) 处出发，到达 \(0\) 时能够识别的串 \(s\) 都相同的节点。

（事实上，可以论证不存在更优的构建方法，因为构造出来的自动机都可以类似的描述）

假定 \(i\) 出发到达 \(0\) 的最短串长为 \(f(i)\)，定义 \(g(i)=m^{f(i)}\mod K\)，那么两个节点等价当且仅当 \((f(i),g(i))\) 是相同的。

\(f(i)\) 等价于 \(i\times m^j=0/i\times m^j\bmod K+m^j>K\)，可以 \(\log K\) 的计算，此时可以得到 50pts 的高分。

我们观察到：若令 \(d=\gcd(m,K)\)，假定剩余了数字，那么剩余数字必然为 \(d\) 的倍数，且其是均匀的，将所有数字除以 \(d\) 都将剩余连续的区间。

不妨令 \(f(L,m,m^j,K)\) 表示当前保留的数为 \([1,L]\) 执行上述流程留下的数字数。

• 若 \(\gcd(m,K)=1\)，答案为 \(L\)，否则令 \(h(i)=im\mod K\)，显然 \(d|h(i)\) 且其模 \(\frac{K}{d}\) 循环。
• 被删除的个数等价于考虑 \(h\) 的取值位于 \((K-m^j,K)\) 内的数的个数。
• 若 \(L>\frac{K}{d}\)，则 \(h(1)\sim h(L)\) 取遍了所有的 \(\frac{K}{d}\) 的值，剩下的都是 \((0,K-m^j]\) 中 \(d\) 的倍数，删掉了 \(\frac{m^j}{d}\) 个数，我们递归到 \(f(\frac{L-m^j}{d},m,m^j\cdot \frac{m}{d},K/d)\)（注意 \(m\) 处也需要放缩）。
• 否则显然 \(h(1)\sim h(L)\) 互不相同，在最终的递归中这些数字都将被删除，于是最后删除 \(L\) 个数。
• 特别注意需要需要特判 \(K<m\) 的时候，此时返回 \(\min(L,K/d)\)
• 复杂度 \(\mathcal O(T\cdot \log^2 n)\)