FJOI2016 建筑师
FJOI2016 建筑师 [* easy]
给定 \(n,A,B\) 求有多少个长度为 \(n\) 的排列满足从左看单调栈大小为 \(A\)，从右看为 \(B\)
多次查询。
\(n\le 5\cdot 10^4,T\le 2\cdot 10^5,A,B\le 100\)
Solution
\(\mathcal O(Tn+n^2)\) 的容易的，考虑枚举最大值位于 \(i\) 处，那么前面就是 \(i-1\) 的序列 \(A\) 个段的方案数，后面就是 \(n-i\) 的序列 \(B\) 个段的方案数。（给 \(A,B\) 先分别减 \(1\)）
然后序列计数可以直接 dp，不难注意到答案就是第一类斯特林数，这是因为可以考虑将元素分组，那么最大值显然在最开头（相当于强行规定了顺序，但其余任意排），然后将最大值从小到大排序可以认为是无序，即将 \(i\) 个元素分成 \(A\) 个圆排列的方案数。
所以不难注意到答案为：
\[\sum \binom{n-1}{i-1}\begin{bmatrix}i-1\\A\end{bmatrix} \begin{bmatrix}n-i\\B\end{bmatrix}
\]
方便起见，\(i\leftarrow i-1,n\leftarrow n-1\)，答案即：
\[\sum \binom{n}{i}\begin{bmatrix}i\\A\end{bmatrix} \begin{bmatrix}n-i\\B\end{bmatrix}
\]
不难发现等价于 \(\binom{A+B}{A}\begin{bmatrix}n\\A+B\end{bmatrix}\)，即将 \(n\) 个元素分成 \(A+B\) 个圆排列，再从其中 \(A+B\) 选出 \(A\) 个圆排列分给第一组的方案数。
于是复杂度 \(\mathcal O(nA+T)\)
