CF1416F

CF1416F

对于大小为 \(n\cdot m\) 的矩阵 \(A\) 和 \(B\)，其中 \(A\) 的每个元素为一个权值 \(w(i,j)\)，\(B\) 的每个元素为一个方向 L/R/D/U

初始你在 \((i,j)\)，若 \(B_{i,j}=L\)，你可以走到 \((i,j-1)\) 处，依次类推。

定义 \(S_{i,j}\) 表示从 \((i,j)\) 出发能够到达的点的 \(A_{i,j}\) 的和。

给定矩阵 \(S\)，构造 \(A\) 和 \(B\) 使得其生成的矩阵为 \(S\)

\(A\) 的每个元素均为正整数。

\(1\le n\cdot m\le 10^5,S_{i,j}\in [2,10^9]\)

Solution

观察到我们最后得到的一定是一个基环内向树。

我们可以先给边定向，然后再得到答案。

我们发现基环一定是偶环，同时大小为 \(2k\) 的偶环一定可以拆成 \(k\) 个大小为 \(2\) 的环。

将边分类：

• 树边。
• 环边。

我们考虑确定了环边后构造答案。

我们发现一些点附近没有比大的点，那么他一定要成为环上的点。

问题等价于部分点被钦定必须在环上的二分图匹配问题（黑白染色后）

使用带上下界的网络流处理即可。

最后可以轻易的输出解。

复杂度可能是 \(\mathcal O(n\cdot m\sqrt{n\cdot m})\)？