CF1349D

• 有 $n$ 个人， 第 $i$ 个人有 $a_i$ 个饼干。
• 每次随机选择一个饼干， 将其随机分配给除了它现在所有者的其他 $n-1$ 个人。
• 求使得一个人拥有所有饼干的期望步数，对 $998244353$ 取模。

$n\le 10^5,\sum a_i\le 3\cdot 10^5$

$\rm Sol:$

这道题好像非常仙。感觉没法做。

设 $P_x$ 表示最后饼干停留在 $x$ 人上的概率。

设 $E_x$ 表示第一次所有饼干停留在 $x$ 上的期望步数乘以概率。

设 $E_x'$ 表示当且仅当饼干停留在 $x$ 上游戏才结束此意义下的期望。

那么有：

$$\sum P_x=1$$

答案为：

$$\sum E_x$$

设 $C$ 为将全部饼干由一个人手中转移到另一个人手中的期望步数，那么我们有恒等式：

$$E_x'=E_x+\sum_{i\ne x} (E_i+P_i\cdot C)$$

表示最终停留在 $E_x'$ 的概率有且仅有：

• 直接停留在 $x$ 处
• 停留在 $i$ 处，然后转移到 $x$ 处。
• 注意到 $E_i$ 附带了概率，所以仅有 $C$ 要乘以 $P_i$

所以我们有：

$$E_x=E_x'-\sum_{i\ne x}(E_i+P_i\cdot C)$$

所求为：

$$\begin{aligned} &\sum E_x \\&=\sum \bigg(E_x'-\sum_{i\ne x}(E_i+P_i\cdot C)\bigg) \\&=\sum E_x' -(n-1)\sum E_i-(n-1)\sum P_i\cdot C \end{aligned}$$

所以我们得到：

$$n\cdot \sum E_x=\sum E_x'-(n-1)\cdot C\sum P_i$$

注意到 $\sum P_i=1$，设 $A=\sum E_x'$，那么所求为：

$$\frac{A-(n-1)\cdot C}{n}$$

于是我们只需要求解 $E_x'$ 与 $C$

设 $f_i$ 表示当前有 $i$ 个饼干在目标人手上期望需要多少步才能得到 $i+1$ 个饼干，$m$ 为饼干总数。

得到转移：

对于 $m>i\ge 1$：

$$f_i=1+\frac{i}{m}(f_{i-1}+f_i)+\frac{m-i}{m}\times \frac{n-2}{n-1}f_i$$

$$(1-\frac{i}{m}-\frac{m-i}{m}\cdot \frac{n-2}{n-1})f_i=1+\frac{i}{m}f_{i-1}$$

对于 $i=0$：

$$f_0=1+\frac{n-2}{n-1}f_0\to f_0=n-1$$

于是对于 $E_x'$，我们容易得到其为 $\sum_{i\ge x} f_i$，同时 $f_i$ 可以直接递推。

同时，显然有 $C=\sum_{i\ge 0} f_i$