[国家集训队 2012]JZPKIL

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多次查询，每次给定 \(n,x,y\)，求：

\[\sum_{i=1}^n \gcd(i,n)^x\textrm{lcm}(i,n)^y \pmod {10^9+7} \]

• \(T\le 100,1\le n\le 10^{18},x,y\le 3000\)

\(\rm Sol:\)

答案是：

\[\sum_{i=1}^n i^y\cdot n^y\gcd(i,n)^{x-y} \]

枚举 \(\gcd=d\)，忽略 \(n^y\) 则有：

\[\begin{aligned} &\sum_{d|n} d^x\sum_{j=1}^{\frac{n}{d}}[\gcd(j,\frac{n}{d})=1]j^{y} \\&=\sum_{d|n} d^x\sum_{j=1}^{n/d}\sum_{k|j,k|\frac{n}{d}} \mu(k)j^y \\&=\sum_{d|n} d^x\sum_{k|\frac{n}{d}}\mu(k) \sum_{k|j} j^y \\&=\sum_{d|n} d^x\sum_{k|\frac{n}{d}}\mu(k)k^y \sum_{j=1}^{n/(kd)} j^y \\&=\sum_{d|n} d^x \sum_{k|\frac{n}{d}}\mu(k)k^y S_y(\frac{n}{kd}) \end{aligned}\]

我们将 \(S_y(\frac{n}{kd})\) 视为关于其的 \(y+1\) 次多项式，那么此处有：

\[\begin{aligned} &\sum_{d|n} d^x \sum_{k|\frac{n}{d}}\mu(k)k^y \sum_{i=0}^{y+1}f_i (\frac{n}{kd})^i \\&=\sum_{i=0}^{y+1}f_i\sum_{d|n} d^x \sum_{k|\frac{n}{d}}\mu(k)k^y(\frac{n}{kd})^i \end{aligned}\]

注意到后者可以视为 \(f,g,h\) 的迪利克雷卷积，令 \(f(d)=d^x,g(d)=\mu(d)d^y,h^c(d)=d^c\)，这个卷积满足分配律和交换律以及结合律，同时满足积性律，注意到三者均为积性函数，所以卷积结果也是积性函数。

设结果为 \(\Z(x)\)，于是我们所求为 \(\Z(n)\)，那么显然有：

1. \(\Z(1)=1\)
2. \(\Z(p)=p^x+p^c-p^y\)
3. \(\Z(p^k)=f\cdot h^c(p^k)-f\cdot h^c(p^{k-1})\times p^y\)

于是只需要考虑 \(f\cdot h^c(p^k)\)，其为：

\[\sum_{i+j=k} f(p^i)\cdot h^c(p^j) \]

所以通过 MR 进行暴力质因数分解，然后我们 \(\mathcal O(\log n)\) 的枚举每个质因子（include 次幂）然后暴力卷积并计算答案即可。

还有一个问题，如何计算自然数幂的和的多项式？

自然数幂和多项式

构造多项式 \(G_n(x)=\frac{e^{nx}-1}{1-e^{-x}}\)，一堆神仙分析可以得到 \(G_n(x)[x^k]\) 就是 \(\sum_{i=1}^n i^k\)（其实应该是根据 \(G_n(x)[x^k]\) 是 \(\sum_{i=1}^n i^k\) 推出 \(G_n(x)\) 的表达式的...）

将 \(G_n(x)\) 裂项成 \(\frac{xe^x}{e^x-1}\times \frac{e^{nx}-1}{x}\)，前者的 EGF 序列记为 \(\{B_0,B_1,B_2...\}\)，后者显然是 EGF 序列 \(\{\frac{n}{1},\frac{n^2}{2},\frac{n^3}{3}...\}\)

所以我们会发现其实有 \(G_n(x)[x^k]\) 是这两个数列的二项卷积的结果，所以有：

\[\begin{aligned} &G_n[x^k]=\sum_{i+j=k} B_i \frac{n^{j+1}}{j+1}\binom{k}{i} \\&= \frac{1}{k+1}\sum_{i=0}^{k} B_i \binom{k+1}{i}n^{k-i+1} \end{aligned}\]

换而言之如果能够得到伯努利数那么就可以知道自然数幂和多项式

然后只需要递推伯努利数即可。

注意到 \(\frac{xe^x}{e^x-1}\times \frac{e^x-1}{x}=e^x\) 所以 \(\mathbf{EGF}\{B_0,B_1...\}\times \mathbf{EGF}\{\frac{1}{1},\frac{1}{2}...\}=\mathbf{EGF}\{1,1,1...\}\)

所以有：

\[\begin{aligned} &\sum_{i+j=k} B_i\times \frac{1}{j+1}\times \binom{k}{i}=1 \\& \sum_{i}^k B_i\times\binom{k+1}{i}=k+1 \end{aligned}\]

于是得到 \(B_k=1-\sum_{i<k} \frac{B_i}{k+1}\binom{k+1}{i}\)

综上，本题复杂度为 \(\mathcal O(T\cdot (n^{\frac{1}{4}}\log n+y\log^3 n)+y^2)\)