CF431D

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给定一张棋盘，\(n\times n\) 的大小，每个位置有一个权值。

每次你可以选择一个大小为 \(m\times m\) 的矩形翻转其中权值，其中 \(m=\frac{n+1}{2}\)

最大化权值和。

\(n\le 33\)，保证 \(n\) 为奇数。

\(\rm Sol:\)

好仙的题呀qwq

设 \(m=\frac{n+1}{2}\)，根据观察，设 \(w_{x,y}\) 表示点 \((x,y)\) 的取反情况，我们会发现 \(w_{x,y}\oplus w_{x,m}\oplus w_{x,m+y}=0\)，这是因为我们每次取反矩阵要么取反其中 \(0\) 个要么取反其中一个，列同理。

进一步观察，可以使用的 \(m^2\) 个矩阵是线性无关的，单看前 \(m\times m\) 个位置，我们发现翻转状态任意的矩形都是合法的（可以将每个线性无关的 \(m\cdot m\) 的矩形规定在左上角，然后从上往下依次进行翻转）

根据初始结论，这些位置将确定剩余的位置的局面。

换而言之，对于 \(x,y<m\) 单看 \((x,y),(x+m,y),(x,y+m),(x+m,y+m)\) 这 \(4\) 个位置，当中间一列与中间一行确定之后这 \(4\) 个位置绑定，而彼此独立，所以可以直接枚举最优决策了。

于是我们得到一个 \(\mathcal O(4^m\times n^2)\) 的做法了。

考虑进一步优化，我们发现如果将行的状态确定下来，那么每一列以及其影响的相绑定的一列的决策均固定，所以我们可以直接枚举行的状态并 check 答案（注意只需要枚举前一半），复杂度为 \(\mathcal O(n^2 2^{\frac{n}{2}})\)