CF838D

CF838D [* hard]

好仙的题...

• 给定 \(N,M\) 表示有 \(N\) 个座位从 \(1\sim N\) 依次排布，\(M\) 个人从 \(1\sim M\) 依次标号，现在从 \(1\to M\) 每个人依次选择从左边/右边指定一个位置 \(x_i\) 然后从左往右/从右往左走过去，如果位置被其他人占据了就一直顺着方向走，如果其走到了另一个出口那么他就会不开心。
• 求所有为人选择初始指定位置以及方向最终使得合法的方案数。
• \(N,M\le 10^5\)

\(\rm Sol:\)

直接计数非常困难，我们考虑转换，假想每个人随机指定一个位置并开始走，求最后合法的概率。

然而这样计算仍然非常困难，注意到每个人可以往左走也可以往右走，我们将之想象成在一个 \(1\to n\) 的环上『顺时针』/『逆时针』走，然而这样无法表示非法的情况，考虑在 \(1\) 与 \(n\) 的接口处增加一个位置 \(n+1\)，那么如果这个位置被占据了就说明状态非法，否则均合法。

于是我们只需要统计给一个 \(n+1\) 的环分配 \(m\) 个人任意走最后使得 \(n+1\) 没有被占据的概率即可，如果认为初始可以配置在 \(n+1\) 处，那么显然在这个环上的每个位置都是等价的，所以概率均相同，于是一个位置被占据的概率为 \(\frac{m}{n+1}\)，可以得到答案发生的概率为 \(\frac{n+1-m}{n+1}\)，乘以方案数 \((2\times (n+1))^m\) 即可。