CF1270H

CF1270H

给出一个序列 \(a\)，若对于 \(i<j\) 有 \(a_i<a_j\) 则连一条 \(i\to j\) 的边，求联通块个数。

支持单点修改，保证任意时刻 \(a\) 互不相等。

• \(n,q \le 5\times 10^5,a_i\le 10^6\)

\(\rm Sol:\)

先做一点观察，我们发现，连通块一定是一个区间。

对于 \((i,j)\) 假设两者之间有边，那么显然中间的点都与两者有边。

于是问题等价于存在分界点，等价于分界点的数量 \(+1\)

分界点的判定条件为不存在边跨过他，即左边最大值小于右边最小值。

接下来又来一个很神的转换，考虑枚举权值，对于 \(w\)，将小于 \(w\) 的权值置为 \(0\)，大于 \(w\) 的权值置为 \(1\)，那么最后其可以得到一个分界点，其合法等价于序列会构成 111000...

方便起见，设 \(a_0=\infty,a_{n+1}=0\)，考虑对于每个 \(w\)，我们维护其是否在序列中出现，以 \(w\) 为视角进行观察，序列中的 10 数量，容易发现至少有一对 10，且 10 数量恰好为 \(1\) 的 \(w\) 就是我们所求，考虑通过线段树维护，当一次修改将 \(a_i\) 改为 \(x\) 之后，我们将步骤拆开，视为将 \(a_i\) 改为 \(0\)，再改为 \(x\)，对于 \(w\in [a_{i+1},a_i]\) 的 \(w\)，本次修改会减少一组 10，而对于 \(w\in [a_i,a_{i-1}]\) 的 \(w\)，本次修改亦减少一组 10，注意到线段树直接维护难以处理区间修改的标记下传，但是注意到不存在 \(0\) 对 10，所以我们直接维护最小值且存在的出现次数即可。