CTSC2010 性能优化
CTS2010 性能优化 [* medium]
\(\rm Sol:\)
首先可以证明循环卷积只需要直接代入 \(n\) 次单位根进去就可以了。
注意到：
\[\begin{aligned}
&\sum_i \sum_j[(i+j)\mod n=k]A_iB_j
\\&\iff\sum_i\sum_j \frac{1}{n}\sum_{r=0}^{n-1}\omega_{n}^{(i+j-k)r}A_iB_j
\\&\iff\frac{1}{n}\sum_r^{n-1}\omega_n^{-kr}\sum_i\omega_n^{ir} A_i\sum_j \omega_n^{jr}B_j
\end{aligned}\]
所以后者本质上是 \(n\) 次单位根代入多项式 \(A\) 的点值，所以结果也是点值相乘，所以还原本质是代入 \(\omega_{n}^{-k}\) 作为点值的结果，再乘以 \(\frac{1}{n}\)
注意到 FFT 的本质是线性变换，设后者为 DFT，前者为 IDFT，那么计算 \(A\times F^k\) 等价于 \(\textrm{IDFT}(\textrm{DFT}(A)\times \textrm{DFT}(B)^k)\)，于是只需要代入 \(\omega_n^i\) 即可。
答案要对 \(n+1\) 取模且 \(n+1\) 为质数，注意到长度 \(n|(n+1-1)\)，这意味着原根可以表示为 \(g^{1}\) 来表示，计算的循环卷积本质是原根的次幂。
那么考虑 Bluestein's Algorithm，考虑对于每个 \(k\) 计算：
\[\begin{aligned}
&\sum_i \omega_n^{ik} A_i
\\&=\sum_{i}\omega_n^{\frac{i^2+k^2-(k-i)^2}{2}}A_i
\\&=\omega_n^{\frac{k^2}{2}}\sum_i\omega_n^{-\frac{(k-i)^2}{2}} \cdot A_i\times \omega_n^{\frac{i^2}{2}}
\end{aligned}\]
在对于 \(k\) 考虑的时候，上式已经变成了卷积的形式，所以我们处理一边卷积就可以计算循环卷积了。
然而这个样子可能会有部分单位根是未定义的，或许会无法通过 NTT 处理本题。
然而注意到 \(n\) 的质因子不大于 \(10\)，考虑如何高效的做任意长度 DFT，不妨设 \(d\) 为 \(n\) 的质因子，那么此处应该有：
\[A_i(x)=\sum^{n/d}_j A_{i+jd} x^j
\]
那么有：
\[\begin{aligned}
&A(x)=A_0(x^d)+xA_1(x^d)+x^2A_2(x^d)+...
\\&\iff A(\omega_n^k)=\sum_i^{d-1} \omega_n^{ik}A_i(\omega_{n/d}^{k})
\end{aligned}\]
那么直接分治即可，单层复杂度为 \(\mathcal O(dn)\)，分治层数为 \(\log_d n\)，所以复杂度为 \(\mathcal O(dn\log_d n)\)，本题中可以认为是 \(\mathcal O(7n\log_7 n)\)
