NOI2018 冒泡排序

NOI2018 D1T2 冒泡排序

求有多少个排列 \(p\)，满足字典序严格大于 \(q\)，且冒泡排序的交换次数到达下界。

\(n\le 6\times 10^5\)

\(\rm Sol:\)

略微观察，发现到达下界即不存在无用挪动，即每一次交换都会使得两者向着目标方向移动一格。

换而言之，对于 \(p_i\)，其目标位置为 \(p_i\)，假设其从 \(i\) 走到 \(p_i\)，那么对于后面的每个要往前走的元素，必然两者会进行一次交换，于是往前走的元素的数量不能比 \(p_i-i\) 多。

换而言之，在他右边，比他小的元素不能多于 \(p_i-i\)，另一种则是在他左边，比他大的元素不能多于 \(i-p_i\)

接着挖掘性质，发现对于 \(i\)，假设他要往右走，那么左边不能有比他大的元素，假设他要往左走，那么右边不能有比他小的元素。

手玩后发现这个条件涵盖了之前的条件，而且感性上理解觉得他非常的是一个充分必要条件。

但是这样不好做，考虑找一个等价条件，注意到假设 \(p_i\) 要往右走，那么左边不存在比他大的，对于其右边一个比他小的元素，假设其往右走，那么这个元素比他大，非法，假设往左走，那么其右边不存在比他小的元素，所以逆序序列长度至多为 \(2\)

另一类同理，于是只需要统计逆序序列长度至多为 \(2\)，字典序大于 \(q\) 的序列数。

考虑设 \(f_{i,j,0/1}\) 表示到位置 \(i\)，最大值为 \(j\)，当前字典序大于 \(q\) 还是等于 \(q\) 的方案数，转移的话有两种：填入的 \(x\) 大于 \(j\)，另一种是小于，但是由于逆序序列长度不能超过 \(2\)，所以比他小的元素不能存在逆序对，所以必然依次填入，所以序列确定了。

根据 0/1 进行讨论，复杂度 \(\mathcal O(n^3)\)，可以获得 \(\rm 64pts\) /baojin

通过前缀优化可以做到 \(\mathcal O(n^2)\)，可以获得 \(\rm 80pts\) 的高分 /jk

接下来枚举一个前缀，同时强制令 \(p_{1..i-1}=q_{1...i-1}\)，且这个前缀目前合法，同时我们令 \(p_i>q_i\)，此时将这些数剔除，问题变成剩余 \(m\) 个数，开头存在一个最大值 \(x\)，当前数需要大于 \(q_i\)，求不存在长度大于 \(2\) 的下降序列的方案数。

大于 \(q_i\) 的条件可以进行容斥，先统计满足前缀相同的方案数，然后减去小于等于 \(q_i\) 的方案数，如果 \(q_i>x\)，那么暴力枚举，否则小于等于对应的数是唯一的，即 \(\rm mex\)，不难发现总枚举量是 \(\mathcal O(n+\sum (\textrm{mx}_i-\textrm{mx}_{i-1}))\)，即 \(\mathcal O(n)\)

考虑固定了一个前缀，可以把这些数拎出去，然后对于剩余数只关乎前缀最大值，将其作为开头，同时按照相对大小关系进行排序，不难发现问题变成了求 \(1\sim m\) 的排列中，开头固定为 \(x\)，且合法的方案数。

考虑通过 Dp 统计，设 \(f_{i,j}\) 表示到位置 \(i\)，最大值为 \(j\) 的方案数，转移为 \(f_{i,j}=\sum f_{i-1,k}[k\le j]\)，转移的另一个前提是 \(j\ge i\)

构造直线 \(y=x-1\)，不难发现问题所求即为从 \((0,x)\) 出发，且不经过此直线，到达 \((m,m)\) 的方案数。

对称，答案即为从 \((0,x)\) 出发和从 \((x+1,-1)\) 出发到达 \((m,m)\) 的方案数之差，即 \(\binom{2m-x}{m}-\binom{2m-x}{m+1}\)

于是我们只需要预处理 \(x\) 即可，\(m\) 显然就是 \(n-i\)，而 \(x\) 则是对于位置 \(i\)，后面没有出现过的元素比他小的元素个数\(+1\)，统计一下前面比他小的元素个数即可，树状数组维护就 ok 了，复杂度 \(\mathcal O(n\log n)\)