【数论】数论之旅：N!分解素因子及若干问题

将N！表示成

N! = p1^t1*p2^t2*…pi^ti…*pk^tk（其中p1，p2……pk是素数，1<N<= 10^6）

显然很容易通过素数筛选求出pi，因为1<pi<=N，关键是如何快速地求出ti。

我们先来看一下对于2这个素因子，把N！分成两部分，即奇偶两部分

 

假设N是偶数

N！

=1*2*3*4*5……N

=(2*4*6……) * (1*3*5……)

因为有N/2个偶数，所以偶数部分可以提出N/2个2，

=2^(N/2) * (1*2*3*……N/2) * (1*3*5*……)

=2^(N/2) * (N/2)! * (1*3*5*……)

 

看到了吗！神奇的事情发生了,N规模的问题转化成了N/2的问题了。上面假设了N是偶数，当然N是奇数时也是一样的，只要规定这里的除法是取整就可以了

 

于是有递推公式 f(n,2) = f(n/2,2) + n/2，表示n！中2的个数。

 

用同样的方法可以推出 f(n,p) = f(n/p) + n/p，表示n！中素数p的个数。

 

于是有代码

 

int f(int n,int p)
{
    if(n==0) return 0;
    return f(n/p) + n/p;
}

 

 

将问题推广一下：

 

问题1：N！的末尾有几个0？

因为 10 = 2*5，所以只要知道N！有多少个2和多少个5，问题就解决了。Min(f(n,2),f(n,5)) 显然f(n,2)>f(n,5)，所以问题就转化成了求f(n,5)。

 

问题2：N!的转化成12进制之后，末尾有几个0？

和问题1一样，12=2*2*3，所以只要求Min(f(n,2)/2,f(n,3))，就可以了。

 

问题3： 求组合数C（n,m）(mod p)

C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!) ，只要对分子和分母分别分解素因子，然后因为C(n,m)肯定是整数，所以C(n,m)肯定可以表示成p1^t1*p2^t2*......pi^ti的形式，只要拿分子素因子的幂减去分母对应的素因子的幂即可。好了，后面就简单了，二分快速幂取模......

参考：http://www.cnblogs.com/openorz/archive/2011/11/14/2248992.html