关于最小生成树
最小生成树
\(By：Soroak\)
- 定义：一个有 \(n\) 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 \(n\) 个结点，并且有保持图连通的最少的边。最小生成树可以用 \(kruskal\) 算法或 \(Prim\) 算法求出。
Kruskal
-
定义: \(Kruskal\) 是基于贪心的思想得到的。
首先我们把所有的边按照权值先从小到大排列，接着按照顺序选取每条边，如果这条边的两个端点不属于同一集合，那么就将它们合并，直到所有的点都属于同一个集合为止。看到这里，我们不难想到另外一个算法——并查集，说白了， \(Kruskal\) 算法就是基于并查集的贪心算法。 -
时间复杂度: \(O(MlogM)\) \(M\) 是图中边的总数。
-
基本思想: \(Kruskal\) 是以边为主导地位，始终选择当前可用的最小边权的边，每次选择边权最小的边连接的时候，要判断两个端点之间有没有联通。
代码如下：（感谢gyh大佬的“赞助”）
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct edge
{
int u,v,w;//分存每一条边前,后坐标与权值
}a[3000010];
int n,m,num;//存边的数量
int pre[1000010];//存并查集中的祖先
bool cmp(edge aa,edge bb)
{
return aa.w<bb.w;
}//结构体sort排序必须自定义排序函数
void add(int u,int v,int w)
{
a[++num].u=u;
a[num].v=v;
a[num].w=w;
}
int find(int x)
{
return pre[x]==x?x:pre[x]=find(pre[x]);
}
void join(int x,int y)//并集
{
int r1=find(x),r2=find(y);
if(r1!=r2)
{
pre[r1]=r2;
}
}
signed main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
pre[i]=i;//重置先祖
}
for(int j=1;j<=m;j++)
{
int u,v,w;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);//输入各边权值
add(u,v,w);
}
sort(a+1,a+num+1,cmp);
int sum=0;
for(int i=1,tot=0;i<=num&&tot!=n;i++)
{
if(find(a[i].u)==find(a[i].v))
{
continue;
}
join(a[i].u,a[i].v);
++tot;
sum+=a[i].w;
}
printf("%d",sum);//输出
return 0;
}
Prim
- 定义: \(Prim\) 算法，图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点且其所有边的权值之和亦为最小。
- 大致思想: \(Prim\)算法，是从点的方面考虑构建一颗最小生成树，而 \(Kruskal\) 算法则是从边的方面考虑构建一颗最小生成树。
- 流程:
- 将一个图分为两个部分，一部分为点集U，另一部分为点集V，U的初始集合为{V1},V的初始集合为
- 针对U开始寻找U中各节点所关联的边的权值最小的那个，然后将关联的点Vi加到U中，再把Vi从V中删除（注意：不能形成环！！！）
- 递归执行步骤2，直到V中的集合为空
- U中所有的点所构成的点就是这个图的最小生成树。
代码：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
const int INF = 0x7ffff;//最大值
const int MARX = 1e5+10;
using namespace std;
//=============================================================
struct edge
{
int u,v,w,ne;//分存前点 后点 权重
}e[MARX<<2];
struct p
{
int num,diss;
bool operator < (const p &a) const
{
return diss > a.diss;
}
}tmp;
int head[MARX],dis[MARX];
bool f[MARX];
int num,n,m,s=1;
//=============================================================
void add(int u,int v,int w)//邻接表加入元素
{
e[++num].ne=head[u],head[u]=num;
e[num].u=u,e[num].v=v,e[num].w=w;
}
void dj(int s)
{
priority_queue <p> q;
tmp.num=s,tmp.diss=0;q.push(tmp);
for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=INF;//赋极值
dis[s]=0;//初始化
for(int i=0;i<n && (!q.empty());)
{
int top=q.top().num; q.pop();
if(f[top]) continue;
i++,f[top]=1;
for(int j=head[top];j;j=e[j].ne)//找k点的临点,并进行比较
if(dis[e[j].v] > e[j].w && (!f[e[j].v]))
{
dis[e[j].v] = e[j].w;
tmp.num=e[j].v , tmp.diss=dis[e[j].v];
q.push(tmp);
}
}
}
//=============================================================
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);//输入
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u,v,w;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
add(u,v,w);
add(v,u,w);
}
dj(s);
int sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++) sum+=dis[i];
printf("%d",sum);
}
/*
//如题,此题为最小生成树prim模板
//不再赘述
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MARX=2147483646;
struct baka9
{
int u,v,w,ne;
}a[401000];
int head[20010];
int minn[20010];
bool f[20010];
int n,m,ans,num;
void add(int x,int y,int z)
{
a[++num].ne=head[x];
a[num].u=x;
a[num].v=y;
a[num].w=z;
head[x]=num;
}
bool prim();
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y,z;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
add(x,y,z);
add(y,x,z);
}
if( prim() )
printf("%d",ans);
else
printf("orz");
}
bool prim()
{
for(int i=2;i<=n;i++)
minn[i]=MARX;
for(int i=head[1];i;i=a[i].ne)
minn[a[i].v]=min(minn[a[i].v],a[i].w);
for(int i=1;i<n;i++)
{
int minnn=MARX,k=-1;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(!f[j] && minn[j]<minnn)
{
minnn=minn[j];
k=j;
}
if(k==-1) break;
f[k]=1;
for(int l=head[k];l;l=a[l].ne)
{
if(!f[a[l].v] && minn[a[l].v] > a[l].w)
minn[a[l].v]=a[l].w;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(minn[i]==MARX)
return 0;
ans+=minn[i];
}
return 1;
}
*/
