辗转相除法

算法：辗转相除法（欧几里德算法）

首先需要清楚的是：

任意整数和0的公约数是该整数的所有约数，它们的最大公约数为该整数本身
因为0被所有非0整数整除,所以任意非零的整数都是0的约数。

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看过许多证明，还是百度百科的最为简单易懂且思路明确。

以下的原理及证明摘自百度百科：

原理：

两个数的最大公约数是指能同时整除它们的最大正整数。

设两数为a、b(a≥b)，求a和b最大公约数

的步骤如下：

(1)用a除以b(a≥b)，得

。

(2)若

，则

；

(3)若

，则再用b除以

，得

.

(4)若

，则

；若

，则继续用

除以

，......，如此下去，直到能整除为止。

其最后一个余数为0的除数即为

的最大公约数。

 

证明：

设两数为a、b(a>b)，用

表示a，b的最大公约数，r=a (mod b) 为a除以b的余数，k为a除以b的商，即

。辗转相除法即是要证明

。

第一步：令

，则设

第二步：根据前提可知

第三步：根据第二步结果可知，

也是

的因数

第四步：可以断定

与

互质（这里用反证法进行证明：设

，则

，则

，则a与b的一个公约数

，故c非a与b的最大公约数，与前面结论矛盾，因此c也是b与r的最大公约数）从而可知

，继而

。

证毕

注：以上步骤的操作是建立在刚开始时r不等于0的基础上的，即m与n互质。

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代码：

int gcd(int a, int b)
{
    if(b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}